基尔霍夫衍射公式推导
    基尔霍夫衍射公式是描述光通过一个狭缝缝隙后在远处屏幕上的衍射图样的公式。我们可以用哈密顿原理把光的传播过程写成变分形式，然后对其进行泊松求和，最终得到基尔霍夫衍射公式。
    设光源位置向量为$\mathbf{r}_0$，观察屏位置向量为$\mathbf{r}$，狭缝为在$y$轴方向，宽度为$b(x)$。则以$\mathbf{r}$为观察点时，光场可以表示为：
    $$E(\mathbf{r})=\frac{1}{i\lambda}\int_S E(\mathbf{r}_0) e^{i\frac{2\pi}{\lambda}\rho}dydz$$
    其中$\rho$为从光源点到观察点的距离，即：
    $$\rho=\sqrt{(x'-x)^2+y^2+z^2}$$
傅里叶变换公式原理    $x'$为狭缝位置。
    对$b(x)$作傅里叶变换，即：
    $$b(m)=\int_{-\infty}^{\infty} b(x)e^{-i2\pi mx/\lambda}dx$$
    则$E(\mathbf{r})$可改写为：
    $$E(\mathbf{r})=\frac{1}{i\lambda}\int_{-\infty}^{\infty}b(m) \int_S E(\mathbf{r}_0) e^{i\frac{2\pi}{\lambda}(\rho-mx)}dydzdm$$
    进一步将狭缝的宽度$b(x)$拆分为$N$个小区间，每个小区间的宽度为$\delta x$，则$b(x)$可以写成：
    $$b(x)=\sum_{n=0}^{N-1}b_n rect\left(\frac{x-x_n}{\delta x}\right)$$
    其中$b_n$为第$n$个小区间的权重，$rect(x)$表示矩形函数。将$b(x)$代入前面的公式中，得到：
    $$E(\mathbf{r})=\frac{\delta x}{i\lambda}\sum_{n=0}^{N-1}b_n\int_{-\infty}^{\infty} \int_S E(\mathbf{r}_0) e^{i\frac{2\pi}{\lambda}(\rho-mx_n)}rect\left(\frac{x-x_n}{\delta x}\right)dydzdm$$
    上式可以看做是$N$个成像问题的相干叠加。我们可以将每一个小区间视为一个成像点，然后这些成像点的光场通过幅度为$b_n$的权重相加，就得到了最终的衍射图样。
    根据互补原理，我们在光阑平面上的角谱可以表示为：
    $$U(u,v)=\frac{1}{i\lambda}\int_S E(\mathbf{r}_0) e^{-i2\pi(ux+vy)/\lambda}dxdy$$
    其中，$(u,v)$为空间频率。
    将$\rho$展开成$x,y,z$的和，即：
    $$\rho=\sqrt{(x'-x)^2+y^2+z^2}=\sqrt{(x-x')^2}=\sqrt{(x-x')^2+y^2}$$
    因此，我们可以将$\rho$写成空间频率的形式：
    $$\rho-mx=\sqrt{(x-x')^2+y^2}-mx=\sqrt{(x-x')^2} e^{i\theta} - mx,$$
    其中$\tan\theta=y/(x-x')$。
    将$\rho-mx$带入上式，得到：
    $$E(\mathbf{r})=\frac{\delta x}{i\lambda}\sum_{n=0}^{N-1}b_n\int_{-\infty}^{\infty} \int_S E(\mathbf{r}_0) e^{i\frac{2\pi}{\lambda}\sqrt{(x-x')^2} e^{i\theta}}rect\left(\frac{x-x_n}{\delta x}\right)dydzdm$$
    对$x$积分，得到：
    $$E(\mathbf{r})=\frac{\delta x}{i\lambda}\sum_{n=0}^{N-1}b_n\int_{-\infty}^{\infty} U\left(\frac{\lambda}{2\pi}\frac{u}{\sqrt{u^2+v^2}},\frac{\lambda}{2\pi}\frac{v}{\sqrt{u^2+v^2}}\right)e^{i\frac{2\pi}{\lambda}x_nu}du$$
    上式表示了狭缝衍射的复振幅，将其平方即可得到能量分布，即：
    $$I(\mathbf{r})=\left|\frac{\delta x}{i\lambda}\sum_{n=0}^{N-1}b_n\int_{-\infty}^{\infty} U\left(\frac{\lambda}{2\pi}\frac{u}{\sqrt{u^2+v^2}},\frac{\lambda}{2\pi}\frac{v}{\sqrt{u^2+v^2}}\right)e^{i\frac{2\pi}{\lambda}x_nu}du\right|^2 $$
    这就是基尔霍夫衍射公式。

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