陈家璧版 光学信息技术原理及应用习题解答(7-8章)

第七章 习题解答
1. 某种光盘的记录范围为内径80mm,外径180mm的环形区域,记录轨道的间距为2um.假设各轨道记录位的线密度均相同 记录微斑的尺寸为  um,试估算其单面记录容量. (注: 内、外径均指直径)
解：  记录轨道数为     
    单面记录容量按位计算为
                  bits = 17 Gb.   
    按字节数计算的存储容量为 2.1GB.
2. 证明布拉格条件式（7-1）等效于（7-17）式中位相失配  = 0的情形， 因而（7-18）式描述了体光栅读出不满足布拉格条件时的位相失配。
证明:    将体光栅读出满足布拉格条件时的照明光波长(介质内) 和入射角 (照明光束与峰值条纹面间夹角)分别记为 0和θ0, 则根据布拉格条件式（7-1）有: 
                    2 sinθ0= 0  
其中 为峰值条纹面间距.
对于任意波长λa (空气中) 和入射角θr (介质内), 由(7-17)式, 位相失配 δ 定义为:
 
其中n0为介质的平均折射率, K= 2π/Λ为光栅矢量K的大小，φ为光栅矢量倾斜角，其值为 ，θr 为再现光束与系统光轴夹角 (参见图7-9)．
当  δ = 0 时,有
           
即:               
λ为介质中的波长. 由于角度恰为照明光与峰值条纹面的夹角θ,以上结果亦即布拉格条件2Λ sinθ = λ.
当读出光偏离布拉格角θo和布拉格波长λo的偏移量分别为∆θ和∆λ时，有
                 
利用布拉格条件式(7-17), 以及∆θ和∆λ很小时的近似关系 cos∆θ≈1 和 sin傅里叶变换公式原理∆θ≈∆θ, 立即可得:
                  δ =∆θKsin(φ-θ0) - ∆λK2/4πn0          即(7-18)式
原题得证。
3. 用波长为532nm的激光在KNSBN晶体中记录非倾斜透射光栅,参考光与物光的夹角为30o(空气中).欲用波长为633nm的探针光实时监测光栅记录过程中衍射效率的变化,计算探针光的入射角.(假设在此二波长晶体折射率均为2.27)
解： 532nm为空气中激光波长记作λa1, 在晶体外的入射角为θa1，其在晶体中波长为λ1, 入射角为θ1；633nm为空气中激光波长记作λa2, 在晶体外的入射角为θa2，其在晶体中波长为λ2，入射角为θa2。本题中涉及非倾斜光栅, 光束入射角即为与光栅峰值条纹面的夹角, 按题意, 则波长532nm和633nm激光应分别满足布拉格条件：
      晶体中：  2Λsinθ1=λ1                      2Λsinθ2=λ2                                    (1)
由折射定律，换算成空气中角度和波长为：
      空气中：  2Λsinθa1=λa1                    2Λsinθa2=λa2                    (2)
由（2）式得：      θa2 = arcsin (λa2 ⨯ sin15︒/λa1 )= arcsin (633 ⨯ sin15︒ /532 )
                      = 17.936 ︒
故探针光的入射角应为17.936︒。
4. 为了与实验测量的选择角相比较,需要有体光栅在空气中的选择角的表达式. 试对小调制度近似(ν<<1),导出一个计算非倾斜透射光栅空气中的选择角的表达式 (所有角度均应为空气中可测量的值).
解：注意我们将对应着η-ξ 曲线的主瓣全宽度定义为选择角, 体光栅晶体中选择角表达式为：
                                                    (1)
ν <<1时，对非倾斜透射光栅，有：
                                                (2)
设空气中参考光入射角为θro, 选择角为∆Θo. 由折射定律有           
                      sin(∆Θo+θro) = nsin(∆Θ+θr)                                (3)
展开为 ：
            sin∆Θocosθro + cos∆Θosinθro= n (sin∆Θcosθr + cos∆Θsinθr)                (4)
因为∆Θo和∆Θ很小，有如下近似：cos∆Θo≈cos∆Θ/2≈1, sin∆Θo≈∆Θo, sin∆Θ≈∆Θ. 因此(4)式可化简为：
∆Θocosθro+ sinθro= n(∆Θcosθr+ sinθr)
由折射定律，有sinθro = nsinθr，可得：
          ∆Θo = n∆Θcosθr/ cosθro
              = nλa cosθr / (nd ⎥ sinθr⎥ cosθro)
              = 2λa(n2-sin2 θro)1/2 / (d sin2θro)
此式可作为空气中选择角的表达式。当sin2 θro<< n2时,还可进一步简化为:
           
以最常用的铌酸锂晶体为例, n=2.2-2.3, 当θro < 45︒时, 用估算空气中的选择角, 误差只有5%左右.
5. 铌酸锂晶体折射率 n =2.28, 厚度d = 3mm, 全息时间常数之比τE/τW = 4, 饱和折射率调制度∆nmax=5⨯10-5, 用λ = 532nm的激光在晶体中记录纯角度复用的全息图, 物光角度取为θs=30︒, 参考光角度范围θr = 20︒-40︒. 若要求等衍射效率记录且目标衍射效率设定为10-5, 试分析影响存储容量的主要因素.为了提高存储容量, 应当在哪些方面予以改进?
解：本题仅涉及纯角度复用技术, 且无页面容量的数据, 故主要讨论每个空间区域内复用存储的数据页面数即角度复用度. 影响存储容量的主要因素有：
（1）有限的角度选择性及实际选择角增宽
（2）光学系统对存储容量的限制
（3）噪声对存储容量的限制
本题可近似为准对称的透射式光路，以平均的参考光角度θr=θs=30︒ 并利用第4题的结果, 可估算出平均选择角为:
0.0535︒
由光学系统决定的参考光入射角范围Θ=20︒, 故允许的角度复用度为：
                    Ma ≈ Θ/∆Θ =20/0.0535 = 374
由于系统存在噪声, 要求有一定的目标衍射效率, 而记录材料具有有限的动态范围, 因而根据(7-77)式,角度复用度限制为：

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