中国空间科学技术
A u g
.25 2022 V o l .42 N o .4 146-157C h i n e s e S p a c e S c i e n c e a n d T e c h n o l o g y
I S S N 1000-758X  C N 11-1859/V h t t p :ʊz g k j
.c a s t .c n D O I :10.16708/j
.c n k i .1000-758X .2022.0061厚板三浦折展机构的几何设计与运动分析
畅博彦1,2，徐鑫1，梁栋1,2,*
，张浩楠1
1.天津工业大学机械工程学院，天津300387
2.天津工业大学天津市现代机电装备技术重点实验室，天津300387
摘 要：空间折展机构与一般运动机构不同，其对构件的几何形貌有着严格的要求㊂基于厚板折纸理论构
造出两种三浦厚板折展单元  B e n n e t t 机构单元和球面四杆机构单元，在保证机构可以从展开状态运动到收拢状态且不发生物理干涉的前提下，以折展单元可无限次叠加组网为设计目标，分析构件几何参数应满足的约束条件，阐述模块化组成大尺度厚板三浦折展机构的原理和过程，提出B e n n e t t 组网和混合组网两种模块扩展方式㊂通过建立B e n n e t t 扩展模块和球面扩展模块的运动学
模型，验证两种厚板三浦折展机构的运动等价关系㊂研究不同几何参数对机构折展率的影响规律，提出一种根据给定折展率要求对机构进行优化设计的方法，为厚板三浦折展机构的运动特性分析和几何参数优化奠定了理论基础㊂
关键词：折展机构；厚板折纸;B e n n e t t 机构；球面机构；折展率；优化设计中图分类号:T H 112    文献标识码:A
收稿日期:2021-10-21；修回日期:2021-11-15；录用日期:2022-02-16；网络出版时间:2022-02-23 09:28基金项目：国家自然科学基金(52175243,52005368)；天津市高等学校创新团队培养计划(T D 13-5037)；天津市教委科研计划(2019K J 012,2018K J 205
)*通信作者.E -m a i l :d o n g l i a n g @t i a n g o n g
.e d u .c n 引用格式：畅博彦，徐鑫，梁栋，等.厚板三浦折展机构的几何设计与运动分析[J ].中国空间科学技术,2022,42(4):146-157.
C H A N G B Y ,X U X ,L I A N G
D ,e t a l .G e o m e t r i c d e s i g n a n d m o t i o n a n a l y
s i s o f M i u r a -O r i m e c h a n i s m w i t h t h i c k p a n e l s [J ].C h i n e s e S p a c e S c i e n c e a n d T e c h n o l o g y
,2022,42(4):146-157(i n C h i n e s e ).G e o m e t r i c d e s i g n a n d m o t i o n a n a l y s i s o f M i u r a -O r i m e c h a n i s m w i t h t h i c k p a n e l s
C H A N G B o y a n 1,2,X U X i n 1,L I A N G
D o n g
1,2,*,Z H A N G H a o n a n 1
1.S c h o o l o f M e c h a n i c a l E n g i n e e r i n g ,T i a n j i n U n i v e r s i t y ,T i a n j
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畅博彦，等：厚板三浦折展机构的几何设计与运动分析147
1引言
折展机构是指能够从收拢状态展开到预定的或期望的结构形式，且承受特定载荷的一类机构[1]㊂由于折展机构具有收拢尺寸小㊁便于储存与运输，展开构型大㊁便于工作与保型的特点，目前已在航空航天[2-5]㊁医疗[6]㊁建筑设计[7]等领域得到应用㊂
折纸是一项起源于中国的古老东方艺术，经过折叠的纸板，可形成一定数目的折痕和纸板单元[8]，运用抽象思维，将纸板单元抽象为构件，折痕抽象为运动副，纸板则等效为一个具体机构㊂同一纸板经不同折叠方式(约束类型)可形成不同机构，即折纸机构[9-11]，此类机构具有显著的可折叠可展开特性，其运动学模型通常是在纸板单元厚度为零且刚度无穷大这一假设条件下建立的㊂
三浦折纸[12-14]机构是一种拥有高缩放比的单自由度机构，在空间可展太阳翼的设计中已经得到了应用，如1995年被运用于设计S p a c e F l y e r U n i t卫星的太阳翼薄膜电池阵㊂该机构中的纸板单元均
为大小形状完全相同的平行四边形，机构通过运动可使被折叠纸板在展开平面上的投影面积显著减小，具有非常大的折展率㊂但是，对于工程实际中的板材，若按照传统折纸的方法进行折叠则会引起物理干涉，如何在考虑纸板厚度的基础上，实现厚板三浦折展机构的结构设计和大尺度组网，是此机构应用时必须解决的问题㊂E d m o n d s o n等为了解决厚板模型在折叠运动过程中存在的物理干涉问题，提出了偏置厚板法[15]，该方法将零厚度刚性折纸完全展开平面设定为初始面，且所有折痕均分布于初始面内，根据折痕的山㊁谷类型确定容纳材料厚度所需的板件偏移量，该方法构造出的厚板折叠机构与对应刚性折纸机构的运动学完全等价㊂T a c h i 提出了偏移关节法，此方法通过将转动轴移动至厚板材料的上表面或下表面，从而避免折展运动过程中产生的物理干涉[16]㊂H o b e r m a n应用偏移关节法将M i u r a折纸结构中的鸟足节点成功转化为厚板结构[17]㊂陈焱等摆脱了原有的折纸运动学模型，通过将顶点处的球面机构替换成空
间过约束机构，提出了全新的厚板折展机构学理论模型[18]㊂通过对不同折痕顶点及对应厚板模型的运动学分析，发现四㊁五和六折痕顶点对应的厚板模型可分别等效为B e n n e t t机构[19-20]㊁M y a r d机构[21]和B r i c a r d机构[22]，使得零厚度刚性折纸的折痕分布可以直接应用于折叠厚板㊂上述方法解决了厚板折叠过程中的物理干涉问题，形成了多种厚板折展单元的理论结构模型和实物模型，为厚板折展机构的设计奠定了基础㊂本文以厚板三浦折展机构为研究对象，以机构不发生物理干涉为前提，以折展单元可无限次叠加组网为设计目标，以机构学和厚板折纸理论为基础，通过偏置厚板和平移转轴的方式，
同时增减板材局部厚度，构造厚板三浦折展单元，阐述模块化组成大尺度厚板三浦折展机构的原理和过程，分析构件几何参数应满足的约束条件，研究不同几何参数对机构折展率的影响规律，并以此为基础提出以折展率为设计要求对机构进行参数优化设计的方法㊂
2厚板三浦折展单元
2.1三浦折展机构
图1所示三浦折展机构由iˑj个四板折展单元构成，将顶点O q j,i定义为列方向(y轴方向)第j个㊁行方向(x轴方向)第i个折展单元的编号，折展单元中平行四边形纸板构件记为a j,4i-3㊁a j,4i-2㊁a j,4i-1㊁a j,4i，折展单元中除顶点外的其他8个拐点分别由p j,i㊁O p j,i㊁p j+1,i㊁q j,i㊁q j+1,i㊁p j,i+1㊁O p j,i+1㊁p j+1,i+1表示㊂
根据三浦折纸机构的运动几何特性可知，该机构在运动过程中，点p1,i,p2,i, ,p j+1,i始终共线，记为直线L p-i，且相邻两点间的直线距离始终相等；点p1,i,p2,i, ,p j+1,i和点O p1,i, O p2,i, ,O p j,i始终共面，记为平面N p-i；与此同时，点q1,i,q2,i, ,q j+1,i始终共线，记为直线L q-i，且相邻两点间的直线距离也始终相等；点q1,i,q2,i, ,q j+1,i和点O q1,i,O q2,i, ,O q j,i始终共面，记为平面N q-i㊂此外，当i取偶数时，机构整体关于平面N p-(0.5i+1)对称；当i取奇数时，机构整体关于平面N q-(0.5i+0.5)对称㊂
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4图1 三浦折展机构
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.1 M i u r a -O r i m e c h a n i s m 2.2 厚板折展单元
图1(c
)所示单顶点四折痕刚性折展单元的运动可等效为空间四杆机构，而空间闭环4R 机构有且仅有球面4R 机构和B e n n e t t 机构两种机构形式，运用偏置厚板和平移转轴的方式，可分别构造出图2所示的厚板折展单元
球面三浦折展单元和B e n n e t t 三浦折展单元㊂球面三浦折展单元如图2(a )所示,a 和b 表示平行四边形板件的边长,α为平行四边形中小于90ʎ的内
角,d 表示板件厚度,e 和δ表示板材局部厚度的增减量；图2(b )所示B e n n e t t 三浦折展单元中，各结构参数首先需要满足B e n n e t t 机构的运动条件㊂
a 12=a 34,a 23=a 41(1
)a 12a 23=
s i n α12
s i n α23
(2)  由三浦折展机构的平面展开条件和对称性知:
α12+α23=α34+α41=π,α23=α34=
α(3)将式(1)和式(3)代入式(2
)，可得:a 12a 23=s i n α12
s i n α23
=1
(4)由式(1)和式(4)可知，在构造B e n n e t t 三浦折展
单元的过程中，转轴平移量和板材厚度增减量需要满足a 12=a 23=a 34=a 41=
f
㊂图2 三浦厚板折展单元
F i g .2 M i u r a d e p l o y a b l e t h i c k -p
a n e l u n i t 3 折展单元的模块化扩展
按照一定的机构学原理，把多个基本折展单元通过模块化拼接组网的方式连接在一起，可形
成大尺度折展机构[
1
]㊂对于图1所示三浦折展机构，其模块化扩展可以分为两个步骤：第一步以折展单元为基础，沿列方向进行扩展，形成单列折展机构；第二步以单列折展机构为基础，沿行方向进行扩展，形成三浦折展机构㊂折展单元
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畅博彦，等：厚板三浦折展机构的几何设计与运动分析
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沿列方向进行扩展时，任意两个相邻的折展单元之间通过一个列拼接单元相连接，列拼接单元是折展单元关于O x y 平面的镜像体，具体连接方式如图3所示，图中 并 操作表示同一板件按照完全重合的方式相固连
㊂
图3 单列折展机构的构造过程示意
F i g .3 C o n s t r u c t i o n o f s i n g
l e -c o l u m n M i u r a -O r i m e c h a n i s m 折展单元中的 三山一谷 折线分布与列拼
接单元中的 三谷一山 交替排列且 一谷 折线和 一山 折线均在对称面N q –1内，这样的折痕分布
使得机构在收合过程中øq k ,1O q k ,1q k +
1,1㊁øO q k ,1q k +1,1O q k +1,1㊁øq k +1,1O q k +1,1q k +2,1(1ɤk ɤj -1)始终保持相等且不断减小，点O q k +1,1与点O q k ,1间距离也随之减小并有可能小于a ，此时折展单元O q k +1,1中的阴影区域将会被收进折展单元O q k ,1中,
进而产生堆叠现象，如图4所示
㊂图4 单列折展机构收合过程中产生的堆叠现象
F i g .4 S t a c k e d p h e n o m e n o n d u r i n g t h e f o l d i n g p
r o c e s s o f s i n g
l e -c o l u m n M i u r a -O r i m e c h a n i s m 由于刚性折纸机构中纸板等效于零厚度刚性板件，这种结构上的堆叠并不会对其模块组网产生影响，但对于厚板折展单元来说，将会导致折展单元中板件厚度d j 随着模块的不断叠加而减小，即:
l i m j ңɕ
d j =0
这种结构尺寸的变化显然不利于折展单元
的加工制造，也不便于大尺度折展机构的模块化扩展㊂图5所示为B e n n e t t 厚板三浦折展单元沿列方向进行扩展时所表现出的堆叠现象
㊂
图5 B e n n e t t 折展单元堆叠模型F i g .5 S t a c k e d m o d e l o f B e n n e t t t h i c k -p
a n e l u n i t 分析上述堆叠现象产生的原因，归根结底是
由于折展单元中板件的结构尺寸设计不合理，导致机构在收合状态下，点O q k +1,1与点O q k ,1间距离小于a ㊂可通过设计板件的结构参数使得点
O q k ,1与点O q k +
1,1间距离大于a ，即线段O q k ,1O q k +1,1的长度大于线段O q k ,1O p k +1,1的长度，如图6所示，以达到避免堆叠的效果㊂此时，板件结构参数需满足约束条件:
2b c o s α>a
(5
)图6 单列折展机构完全收合状态侧视图
F i g .6 S i d e v i e w o f s i n g
l e -c o l u m n M i u r a -O r i m e c h a n i s m i n f o l d e d s t a t e
定义c 为平行四边形板件局部去除材料后
的长边剩余长度，易知c >0是式(5)成立的充分必要条件，有:
b =
c +
a
2c o s α
在满足式(5)的基础上，由于列拼接单元与折展单元关于O x y 平面互为镜像体，其厚板形式如图7所示，拼接过程中为了保证折痕分布和
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.25 2022 V o l .42 N o .4相对位置的固定，共用板件的材料去除特征也需要进行 并 操作，进而将厚板折展单元转化为厚板扩展模块，如图8所示，厚板扩展模块的提出在厚板层面实现了折展单元和列拼接单元的结构统一，使得模块沿列方向的扩展便于描述和分析㊂B e n n e t t 模块沿列方向扩展后形成的单列折展机构如图9(a )所示，球面模块沿列方向扩展后形成的单列折展机构如图9(b
)所示
㊂图7 折纸单元及对应厚板单元
F i g .7 O r i g a m i u n i t a n d c o r r e s p o n d i n g t h i c k -p
a n e l u n i
t 图8 三浦厚板扩展模块F i g .8 T h i c k -p a n e l e x p a n d i n g m
o d u l e o f M i u r a -O r
i 图9 单列折展机构
F i g .9 S i n g l e -c o l u m n d e p l o y
a b l e m e c h a n i s m 以单列折展机构为基础，沿行方向进行扩展
时，任意两个相邻的折展单元之间通过一个行拼接单元相连接，行拼接单元是折展单元关于
O y
z 平面的镜像体，具体连接方式如图10所示，由对称性易知行拼接单元和折展单元的结构也统一于厚板扩展模块㊂B e n n e t t 单列折展机构进行行扩展后形成的B e n n e t t 厚板三浦折展机构如图11所示
㊂
图10 单行折展机构的构造过程示意
F i g .10 T h e c o n s t r u c t i o n o f s i n g
l e r o w o f M i u r a -O r i m e c h a n i s
m
图11 B e n n e t t 厚板三浦折展机构
F i g .11 F o l d i n g s e q u e n c e o f M i u r a -O r i m e c h a n i s m w i t h B e n n e t t e x p a n d i n g
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