导数公式：　
基本积分表：　
三角函数的有理式积分：　
22
2212211cos 12sin u du dx x
tg u u u x u u x +=
=+-=+=，　，　，  a
x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22=
¢=¢×-=¢×=¢-=¢=¢2
2
22
11
)(11
)(11
)(arccos 11
)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-=¢+=
¢--=¢-=
¢ò
òòòòòòòòò+±+=±+=+=+=+-=×+=×+-==+==C
a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C
a a dx a C
x ctgxdx x C x dx tgx x C
ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x
x
)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222
22
22
2C a
x
x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C
ctgx x xdx C tgx x xdx C
x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=òòòòòòòòarcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2
2222222ò
òòòò++-=-+-+--=-+++++=+-=
==-C
a x a x a x dx x a C
a x x a a x x dx a x C
a x x a a x x dx a x I n
n xdx xdx I n n n
n arcsin 2
2ln 22)ln(221
cos sin 22
2222222
2222222
22
2
22
2
p
p
一些初等函数：                          　两个重要极限：　
三角函数公式：　·诱导公式：　
·和差角公式：                          ·和差化积公式：　
2
sin
2sin 2cos cos 2cos
2cos 2cos cos 2sin
2cos 2sin sin 2cos
2sin
2sin sin b
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
a b
a b a -+=--+=+-+=--+=+a
b b a b a b a b
a b a b
a b a b a b a b a b a ctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±×=
±×±=
±=±±=±1
)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(m m m x
x
arthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x x
x x
x x
x -+=-+±=++=+-==
+=
-=
----11ln
21)
1ln(1ln(:2
:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim 0==+=¥®®e x
x
x x
x x
·倍角公式：　
div高数
·半角公式：　
a a
a a a a a a a a a a a a
a
a a a
cos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 12
2
cos 12cos 2cos 12
sin -=
+=-+±=+=-=+-±
=+±=-±=ctg tg
·正弦定理：
R C
c
B b A a 2sin sin sin ===    ·余弦定理：
C ab b a c cos 2222-+=
·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=
-=
2
arccos 2
arcsin p
p
高阶导数公式——莱布尼兹（Ｌｅｉｂｎｉｚ）公式：　
)
()
()()2()1()(0
)
()()
(!
)1()1(!2)1()
(n k k n n n n n
k k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++¢¢-+
¢+==---=-åL L L
中值定理与导数应用：　
拉格朗日中值定理。
时，柯西中值定理就是当柯西中值定理：
拉格朗日中值定理：x x F f a F b F a f b f a b f a f b f =¢¢=---¢=-)(F )
()
()()()()())(()()(x x x
曲率：　
a
a a a a a a a a a 23333133cos 3cos 43cos sin 4sin 33sin tg tg tg tg --=
-=-=a
a
a a a a a a a a a a
a a 22222212221
2sin cos sin 211cos 22cos cos sin 22sin tg tg tg ctg ctg ctg -=
-=
-=-=-==
.
1
;0.
)
1(lim M s M M :.320a
K a K y y ds d s K M M s
K s ==¢+¢¢==D D =¢D ¢D D D =®D 的圆：半径为直线：点的曲率：弧长。：化量；点，切线斜率的倾角变点到从平均曲率：
a a
a a
定积分的近似计算：　
òòò----+++++++++-»
++++-»
+++-»
b
a
n n n b
a
n n b
a n y y y y y y y y n
a
b x f y y y y n a b x f y y y n
a
b x f )](4)(2)[(3)(])(2
1
[)()()(1312420110110L L L L 抛物线法：梯形法：矩形法：
定积分应用相关公式：　
òò--==×=×=b
a
b a dt t f a b dx
x f a b y k r
m
m k F A
p F s
F W )(1)(1
,2221均方根：
函数的平均值：为引力系数引力：水压力：功：
空间解析几何和向量代数：　
。
代表平行六面体的体积为锐角时，
向量的混合积：
例：线速度：两向量之间的夹角：是一个数量轴的夹角。与是向量在轴上的投影：
a a q q q j j ,cos )(][..sin ,cos ,,cos Pr Pr )(Pr ,Pr 2
2
2
2
2
2
2121c b a c c c b b b a a a c b a c b a r w v b a c b b b a a a k
j i
b a
c b b b a a a b a b a b a b a b a b a b a b a a j a j a a j u AB AB j z
y
x z y x z
y x
z
y
x
z y x
z
y x z y x z
z y y x x z z y y x x u u v
v v v v v v v v v v v v v v v v
v v
v v v v v v v ×´==×´=´=×==´=++×++++=++=×=×+=+ （马鞍面）
双叶双曲面：单叶双曲面：、双曲面：
同号）（
、抛物面：、椭球面：二次曲面：
参数方程：其中空间直线的方程：面的距离：平面外任意一点到该平、截距世方程：、一般方程：，其中、点法式：平面的方程：
11
3,,2221
1};,,{,1
30
2),,(},,,{0)()()(122
222222
22222
222
22220000002
220000000000=+-=-+=+=++ïîï
íì+=+=+===-=-=-+++++=
=++=+++==-+-+-c
z b y a x c z b y a x q p z q y p x c z b y a x pt
z z nt
y y mt
x x p n m s t p z z n y y m x x C B A D
Cz By Ax d c z
b y a x D Cz By Ax z y x M C B A n z z C y y B x x A v v
多元函数微分法及应用　

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