考研数学一（高等数学）历年真题试卷汇编19 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． (10年)设函数z=z(x，y)由方程确定，其中F为可微函数，且F2’≠0，则
A．x．
B．z．
C．一x．
D．一z．
正确答案：B
解析：由隐函数求导公式得 知识模块：高等数学
2． (11年)设函数f(x)具有二阶连续导数，且f(x)＞0，f’(0)=0，则函数z=f(x)lnf(y)在点(0，0)处取得极小值的一个充分条件是
A．f(0)＞1，fdiv高数”(0)＞0．
B．f(0)＞1，f”(0)＜0．
C．f(0)＜1，f”(0)＞0．
D．f(0)＜1，f”(0)＜0．
正确答案：A
解析：则AC—B2＞0,故(A)． 知识模块：高等数学
3． (12年)如果f(x，y)在(0，0)处连续，那么下列命题正确的是
A．若极限存在，则f(x，y)在(0，0)处可微．
B．若极限存在，则f(x，y)在(0，0)处可微．
C．若f(x，y)在(0，0)处可微，则极限
D．若f(x，y)在(0，0)处可微，则极限
正确答案：B      涉及知识点：高等数学
4． (13年)曲面x2+cos(xy)+yz+x=0在点(0，1，一1)处的切平面方程为
A．x—y+z=一2．
B．x+y+z=0．
C．x一2y+z=一3．
D．x—y—z=0．
正确答案：A
解析：令F(x，y，z)=x2+cos(xy)+yz+x，则n={2x—ysin(xy)+1，一xsin(xy)+x，y)|(0,1,-1)={1，一1，1}则所求切平面方程为x一(y一1)+(z+1)=0即x—y+2=一2 知识模块：高等数学
5． (88年)设有空间区域Ω1：x2+y2+z2≤R2，z≥0；及Ω2：x2+y2+z2≤R2，x≥0，y≥0，z≥0，则
A．
B．
C．
D．
正确答案：C
解析：由于(C)选项中的被积函数f(x，y，z)=z既是x的偶函数，也是y的偶函数，而积分域Ω1既关于yOz坐标面前后对称，又关于xOz坐标面左右对称，则 知识模块：高等数学
6． (91年)设D是xOy平面上以(1，1)，(一1，1)和(一1，一1)为顶点的三角形区域，D1是D在第一象限的部分，则(xy+cosxsiny)dxdy等于
A．
B．
C．
D．
正确答案：A
解析：如图2．8，△OAB所围区域记为D2，△OBC所围区域记为D3．由于xy关于x是奇函数，积分域D2关于y轴对称，则又cosxsiny是y的奇函数，D3关于x轴对称，则又cosxsiny是x的偶函数，D2关于y轴对称，则从而有 知识模块：高等数学
填空题
7． (11年)设函数F(x，y)=
正确答案：4
解析： 知识模块：高等数学
8． (12年)
正确答案：(1，1，1)．
解析： 知识模块：高等数学
9． (14年)曲面z=x2(1一siny)+y2(1一sinx)在点(1，0，1)处的切平面方程为______．
正确答案：2x—y—z=1．
解析：由z=x2(1一siny)+y2(1一sinx)得zx’=2x(1一siny)一y2cosx，zx’(1，0)=2zy’=一x2cosy+2y(1一sinx)，zy’(1，0)=一1所以，曲面z=x2(1一siny)+y2(1一sinx)在点(1，0，1)处的法向量为[*738]=(2，一1，一1)，该点处切平面方程为2(x一1)一y一(z一1)=0,即2x—y—z=1． 知识模块：高等数学
10． (15年)若函数z=z(x，y)由方程ez+xyz+z+cosx=2确定，则dz|(0,1)=_______．
正确答案：一dx．
解析：将x=0，y=1代入ez+xyz+x+cosx=2中得ez+1=2，则z=0方程ez+xyz+x+cosx=2两端微分得ezdz+yzdx+xzdy+xydz+dx—sinxdx=0将x=0，y=1，z=0代入上式得dx+dz=0则    dz|(0,1)=一dx 知识模块：高等数学
11． (16年)设函数f(u，v)可微，z=z(x，y)由方程(x+1)z-y2=x2f(x-z，y)确定，则dz|(0,1)=________，
正确答案：一dx+2dy．
解析：由原方程知，当x=0，y=1时，z=1．方程(x+1)z—y2=x2f(x—z，y)两边求全微分zdx+(x+1)dz一2ydy=2xf(x—z，y)dx+x2[f1’.(dx—dz)+f2’dy]将x=0，y=1，z=1代入上式得dz|(0,1)=一dx+2dy 知识模块：高等数学
12． (87年)设L为取正向的圆周x2+y2=9，则曲线积分(2xy一2y)dx+(x2一4x)dy的值是______.
正确答案：一18π．
解析：由格林公式可知 知识模块：高等数学
13． (89年)向量场u(x，y，z)=xy2i+yezj+xln(1+x2)k在点P(1，1，0)处的散度divu=_____．
正确答案：2
解析：由散度计算公式  其中u=Pi+Qj+Rk得 知识模块：高等数学
14． (89年)设平面曲线L为下半圆周则曲线积分∫L(x2+y2)ds=_______．
正确答案：π
解析：由于下半圆周上的点(x，y)也满足x2+y2=1，则 知识模块：高等数学
15． (90年)积分∫02dx∫x2的值等于______．
正确答案：
解析：交换累次积分次序得 知识模块：高等数学
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16． (09年)求二元函数f(x，y)=x2(2+y2)+ylny的极值．
正确答案：显然，AC—B2＞0，而A＞0，故二元函数f(x，y)有极小值      涉及知识点：高等数学
17． (11年)设函数z=f(xy，yg(x))，其中函数f具有二阶连续偏导数，函数g(x)可导且在x=1处取得极值g(1)=1．求
正确答案：由题意g’(1)=0．因为=yf1’+yg’(x)f2’，=f1’+y[xf11”+g(x)f12”]+g’(x)f2’+yg’(x)[xf21”+g(x)f22”]，所以=f1’(1，1)+f11”(1，1)+f12”(1，1)．      涉及知识点：高等数学
18． (12年)求函数f(x，y)=的极值．
正确答案：      涉及知识点：高等数学
19． (13年)求函数f(x，y)=的极值．
正确答案：因为f(x，y)=所以      涉及知识点：高等数学
20． (14年)设函数f(u)具有2阶连续导数，z=f(excosy)满足若f(0)=0，f’(0)=0，求f(u)的表达式．
正确答案：令excosy=u，则f”(u)=4f(u)+u即  f”(u)一4f(u)=u以上方程对应的齐次方程的特征方程为r2一4=0，特征根为r=±2，齐次方程的通解为f(u)=C1e2u+C2e-2u      涉及知识点：高等数学
21． (15年)已知函数f(x，y)=x+y+xy，曲线C：x2+y2+xy=3，求f(x，y)在曲线C上的最大方向导数．
正确答案：因为函数在每一点沿梯度方向的方向导数最大，且最大值等于该点梯度向量的模，而grad f(x，y)=(1+x，1+y)令F(x，y，λ)=(1+x)2+(1+y)2+λ(x2+y2+xy一3)，由式(2)减式(1)得    (y—x)(2+λ)=0若y=x，代入式(3)得若λ=一2，代入式(1)和式(2)得x+y=1，将此代入式(3)得将以上四组值代入grad f(x，y)=(1      涉及知识点：高等数学
22． (87年)计算曲面积分其中S是由曲线(1≤y≤3)绕y轴旋转一周所形成的曲面，它的法向量与y轴正向的夹角恒大于
正确答案：补平面S1：其法线方向与y轴正向相同．设S1和S所围成的区域为Ω，由高斯公式得      涉及知识点：高等数学
23． (88年)设S为曲面x2+y2+z2=1的外侧，计算曲面积分
正确答案：由高斯公式知      涉及知识点：高等数学
24． (88年)设位于点(0，1)的质点A对质点M的引力大小为(k＞0为常数，r为质点A与M之间的距离)，质点M沿曲线自B(2，0)运动到O(0，0)，求在此运动过程中质点A对质点M的引力所作的功．

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