考研数学一（高等数学）模拟试卷321 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 设(x+y≠0)为某函数的全微分，则a为(    )．
A．一1
B．0
C．1
D．2
正确答案：D
解析：P(x，y)=得a=2，选D. 知识模块：高等数学
2． 设L为由y2=x+3及x=2围成的区域的边界，取逆时针方向，则等于(    )．
A．一2π
B．2π
C．π
D．0
正确答案：B
解析：取C，x2+y2=r2(其中r＞0，Cr在L内，取逆时针)，设由L及Cr-所围成的区域为Dr，由Cr围成的区域为D0，由格林公式得 知识模块：高等数学
3． 设∑：x2+y2+z2=1(z≥0)，∑1为∑在第一象限的部分，则(    )．
A．
B．
C．
D．
正确答案：C
解析：因为曲面关于平面xOz、yOz对称，所以注意到．故选(C)． 知识模块：高等数学
4． 设曲面∑是z=x2+y2界于z=0与z=4之间的部分，则等于(    )
A．2πe4
B．π(e4一1)
C．2π(e4一1)
D．πe4
正确答案：B
解析： 知识模块：高等数学
填空题
5． 设f(x，y，z)=x2-y2+2z2，则div(gradf)=_______．
正确答案：4
解析：gradf={2x，一2y，4z}，则div(gradf)==2—2+4=4． 知识模块：高等数学
6． 设L：从z轴正向看，L为逆时针，则∮Lydx一(2z+1)dy+2xdz=_______．
正确答案：
解析：取曲线L的截口圆为∑，方向向上，法向量为n={1，1，1}，法向量的方向余弦为cosα=cosβ=cosγ=由斯托克斯公式得原点到截口平面的距离为，则截口圆的半径为故∮L)ydx一(2z+1)dy+2xdz= 知识模块：高等数学
7． 设，其中L是椭圆4x2+y2=1，L为逆时针方向，则I=______．
正确答案：
解析：由二重积分的对称性得 知识模块：高等数学
8． 设曲线L：(-1≤x≤1)，则∫L(x2+2xy)ds=_______．
正确答案：
解析： 知识模块：高等数学
9． 设L：，且L的长度为l，则∮L(9x2+72xy+4y2)ds=______．
正确答案：36l
解析：由对称性得∮L(9x2+72xy+4y2)ds=∮L(9x2+4y2)ds，于是原式= 知识模块：高等数学
10． 设Γ：则∮Γx2ds=______．
正确答案：
解析：∮Γx2ds=(x2+y2+z2)ds=原点到平面x+y+z=1的距离为，则圆Γ的半径为则∮Γx2dx= 知识模块：高等数学
11． ∮Lx2ydx+xy2dy=_______，其中L：|x|+|y|=1，方向取逆时针方向．
正确答案：0
解析：令L1：y=1一x(起点x=1，终点x=0)，    L2：y=1+x(起点x=0，终点x=一1)，    L3：y=一1一x(起点x=一1，终点x=0)，    L4：y=一1+x(起点x=0，终点x=1)，则∮Lx2ydx+xy2dy=[*2143]    =∫10[x2(1一x)一x(1一x)2]dx+∫0-1[x2(1+x)+x(1+x)2]dx+∫-10[一x2(1+x)一x(1+x)2]dx+∫01[x2(x一1)+x(x一1)2]dx=0． 知识模块：高等数学
12． ∫(1,1)(2,2)xy2dx+x2ydy=_______．
正确答案：
解析：因为xy2dx+x2ydy=所以∫(1,1)(2,2)xy2dx+x2ydy= 知识模块：高等数学
13． 设S为平面x一2y+z=1位于第四象限的部分，则
正确答案：
解析：S：z=1一x+2y，S在xOy平面上的投影区域为 知识模块：高等数学
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
14． 计算从点B(一1，0)到点A(1，0)．
正确答案：I=∫Lx3dy一=∫Lx3dy一(y+1)dx      涉及知识点：高等数学
15． 计算，取逆时针方向．
正确答案：令L0：x2+y2=r2(r＞0，L0在L内，L0取逆时针)，设L0与L所围成的多连通区域为D1，L0所围成的单连通区域为D2，      涉及知识点：高等数学
16． 计算(xy+x2z)dS，其中∑：(0≤z≤1)．
正确答案：      涉及知识点：高等数学
17． 计算(x2+y2)dS，其中∑：z=x2+y2(0≤z≤1)．
正确答案：曲面∑在xOy平面上的投影区域为D：x2+y2≤1，zx’=2x，zy’=2y，则      涉及知识点：高等数学
18． 计算2zdxdy+xzdydz，其中∑：取上侧．
正确答案：令∑1：x=取前侧，其在yOz平面上的投影区域为Dyz：y2+z2≤1(z≥0)，      涉及知识点：高等数学
19． 验证在x＞0内为某个二元函数u(x，y)的全微分，并求u(x，y)．
正确答案：因为为某二元函数u(x，y)的全微分；      涉及知识点：高等数学
20． 其中L为由x轴，x2+y2=4及y=x所围成的第一象限内的区域的边界．
正确答案：      涉及知识点：高等数学
21． 计算∫Lxdy一(2y+1)dx，其中    (1)L从原点经过直线y=x到点(2，2)；    (2)L从原点经过抛物线y=到点(2，2)．
正确答案：(1)∫Lxdy-(2y+1)dx=∫02xdx一(2x+1)dx=-∫02(x+1)dx=一4．    (2)∫Lxdy一(2y+1)dx=∫02x×xdx-(x2+1)dx=一2．      涉及知识点：高等数学
22． 计算∫L(xy2+y)dx+(x2y+x)dy，其中    (1)L从原点沿直线y=x到点(1，1)；    (2)L从原点沿抛物线y=x2到点(1，1)．
正确答案：(1)∫L(xy2+y)dx+(x2y+x)dy=∫01(x3+x)dx+(x3+x)dx=∫01(2x3+2x)dx=(2)∫L(xy2+y)dx+(x2y+x)dy=∫01(x5+x2)dx+(x4+x)×2xdx=∫01(3x5+3x2)dx=      涉及知识点：高等数学
div高数23． 计算∫L(3x+2y+1)dx+，其中L为x2+y2=4第一象限内逆时针方向部分．
正确答案：=(e4一2)π一8．      涉及知识点：高等数学
24． 利用格林公式计算∫L(exsiny+x—y)dx+(excosy+y)dy，其中L是圆周y= (a＞0)上从点A(2a，0)到点0(0，0)的弧段．
正确答案：I=∫L(exsiny+x—y)dx+(excosy+y)dy=(exsiny+x—y)dx+(excosy+y)dy而(exsiny+x—y)dx+(excosy+y)dy=(exsiny+x—y)dx+(excosy+y)dy=∫02axdx=2a2，所以∫L(exsiny+x—y)dx+(excosy+y)dy=      涉及知识点：高等数学
25． 求其中L为x2+y2=a2上从点A(a，0)沿逆时针方向到点B(一a，0)的有向曲线段，其中a＞0．
正确答案：取L0：y=0(起点x=一a，终点x=a)，      涉及知识点：高等数学
26． 计算I=∫L(ex+1)cosydx一[(ex+x)siny—x]dy，其中L为由点A(2，0)沿心形线r=1+cosθ上侧到原点的有向曲线段．
正确答案：令L1：y=0(起点x=0，终点x=2)，则      涉及知识点：高等数学
27． 在过点O(0，0)和A(π，0)的曲线族y=a sinx(a＞0)中，求一条曲线L，使沿该曲线从点O到A的积分I=∫L(1+y3)dx+(2x+y)dy的值最小．
正确答案：I=I(a)=∫0π(1+a3sin3x)+(2x+asinx).acosx]dx=π一4a+由I’(a)=4(a2一1)=0，得a=1，I”(a)=8a，由I”(1)=8＞0得a=1为I(a)的极小值点，因为a=1是I(a)的唯一驻点，所以a=1为I(a)的最小值点，所求的曲线为y=sinx．      涉及知识点：高等数学
28． 设Q(x，y)在平面xOy上具有一阶连续的偏导数，且∫L2xydx+Q(x，y)dy与路径无关，且对任意的t有∫(0,0)(t,1)2xydx+Q(x，y)dy=∫(0,0)(1,t)2xydx+Q(x，y)dy，求Q(x，y)．
正确答案：因为曲线积分与路径无关，所以于是Q(x，y)=x2+φ(y)．由∫(0,0)(t,1)2xy dx+Q(x，y)dy=∫(0,0)1,t2xydx+Q(x，y)dy，得t2+∫01φ(y)dy=t+∫0tφ(y)dy，两边对t求导数得1+φ(t)=2t，φ(t)=2t-1,    所以Q(x，y)=x2+2y一1．      涉及知识点：高等数学
29． 设曲线积分∫L[f’(x)+2f(x)+ex]ydx+[f’(x)一x]dy与路径无关，且f(0)=0，其中f(x)连续可导，求f(x)．
正确答案：P(x，y)=[f’(x)+2f(x)+ex]y，Q(x，y)=f’(x)一x，=f”(x)-1，=f’(x)+2f(x)+ex，因为曲线积分与路径无关，所以，整理得f”(x)一f’(x)一2f(x)=ex+1，特征方程为λ2一λ一2=0，特征值为λ1=一1，λ2=2，方程f”(x)一f’(x)一2f(x)=0的通解为f(x)=C1e-x+C2e2x；令方程f”(x)一f’(x)一2f(x)=ex的特解为f1(x)=aex，代入得方程f”(x)一f’(x)一2f(x)=1的特解为f2(x)=方程f”(x)一f’(x)一2f(x)=ex+1的特解为f0(x)=方程f”(x)一f’(x)一2f(x)=ex+1的通解为f(x)=C1e-x+C2e2x一由f(0)=0，f’(0)=故f(x)=      涉及知识点：高等数学
30． 计算曲线积分其中L为不经过原点的逆时针光滑闭曲线．
正确答案：设L所围成的区域为D，令(1)当O(0，0)在L所围成区域的外部时，由格林公式(2)当O(0，0)在L所围成的区域内部时，作Cr:x2+4y2=r2(其中r＞0，Cr在L内部，方向为逆时针方向)，再令由L和Cr-所围成的区域为Dr，由格林公式      涉及知识点：高等数学

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