[考研类试卷]考研数学一（高等数学）历年真题试卷汇编20
一、选择题
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1 (00年)设S：x2+y2+z2=a2(z≥0)，S1为S在第一卦限中的部分，则有
二、填空题
2 (93年)设数量场则div(gradu)=________．
3 (94年)设区域D为x2+y2≤R2，则
4 (98年)设l是椭圆其周长记为a，则(2xy+3x2+4y2)ds=_______．
5 (01年)设则div(gradr)|(1,-2,2)=________．
6 (01年)交换二次积分的积分次序：∫-10dy∫21-y f(x，y)dx=______．
7 (04年)设L为正向圆周x2+y2=2在第一象限中的部分，则曲线积分∫L xdy一2ydx 的值为______
三、解答题
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
8 (91年)在过点O(0，0)和A(π，0)的曲线族y=asinx(a＞0)中，求一条曲线L，使沿该曲线从O到A的积分∫L(1+y3)dx+(2x+y)dy 的值最小．
9 (92年)计算曲面积分其中∑为上半球面的上侧．
10 (92年)在变力F=yzi+xzj+xyk的作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面
=1上第一卦限点M(ξ，η，ζ)，问当ξ，η，ζ取何值时，力F所作的功W最大?并求出W的最大值．
11 (93年)计算2xzdydz+yzdzdx-z2dxdy。其中∑是由曲面
z=所围立体表面的外侧．
12 (94年)计算曲面积分，其中S是由曲面x2+y2=R2及两平面
z=R，z=-R(R＞0)所围成立体表面的外侧．
13 (95年)设函数f(x)在区间[0，1]上连续，并设∫01f(x)dx=A，求∫01dx∫x1f(x)f(y)dy．
14 (95年)计算曲面积分其中∑为锥面在柱体x2+y2≤2x内的部分．
15 (95年)设函数Q(x，y)在xOy平面上具有一阶连续偏导数，曲线积分
∫L2xydx+Q(x，y)dy与路径无关，并且对任意t恒有∫(0,0)(t,1)2xydx+Q(x，
y)dy=∫(0,0)(1,t)2xydx+Q(x，y)dy 求Q(x，y)．
16 (96年)计算曲面积分(2x+z)dydz+zdxdy，其中S为有向曲面z=x2+y2(0≤z≤1)，其法向量与z轴正向的夹角为锐角．
17 (97年)计算I=(x2+y2)dv，其中Ω为平面曲线绕z轴旋转一周形成的曲面与平面z=8所围成的区域．
18 (97年)计算曲线积分(z一y)dx+(x—z)dy+(x—y)dz，其中c是曲线
从z轴正向往z轴负向看c的方向是顺时针方向．
19 (98年)确定常数λ，使在右半平面x＞0上的向量A(x，y)=2xy(x4+y2)λi—
x2(x4+y2)λj为某二元函数u(x，y)的梯度，求u(x，y)．
20 (98年)计算其中∑为下半球面的上侧，a为大于零的常数．
div高数21 (99年)求I=∫L(e x siny一b(x+y))dx+(e x cosy—ax)dy，其中a，b为正的常数,L为从点A(2a，0)沿曲线y=到点O(0，0)的弧．
22 (99年)设S为椭球面的上半部分，点P(x，y，z)∈S，π为S在点P处的切平面，ρ(x，y，z)为点O(0，0，0)到平面π的距离，求
23 (00年)计算曲线积分其中L是以点(1，0)为中心、R为半径的圆周(R＞1)取逆时针方向．
24 (00年)设有一半径为R的球体，P0是此球表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到P0距离的平方成正比(比例常数k＞0)，求球体的重心位置．
25 (01年)设有一高度为h(t)(t为时间)的雪堆在融化过程中，其侧面满足方程z=h(t)
一(设长度单位为厘米，时间单位为小时)，已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数为0．9)，问高度为130厘米的雪堆全部融化需多少小时?
26 (01年)计算I=(y2一z2)dx+(2z2一x2)dy+(3x2一y2)dz，其中L是平面x+y+z=2与柱面|x|+|y|=1的交线，从z轴正向看去，L为逆时针方向．
27 (02年)计算二重积分，其中D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}．
28 (02年)设函数f(x)在(一∞，+∞)内具有一阶连续导数，L是上半平面(y＞0)内的有向分段光滑曲线，其起点为(a，b)，终点为(c，d)．记
(1)证明曲线积分I与路径L无关；
(2)当ab=cd时，求I的值．
29 (03年)已知平面区域D=((x，y)|0≤x≤π，0≤y≤π}，L为D的正向边界．试证：
30 (03年)设函数f(x)连续且恒大于零，
其中Ω(t)={(x，y，
z)|x2+y2+z2≤t2}，D(t)={(x，y)|x2+y2≤t2}，(1)讨论F(t)在区间(0，+∞)内的单调性．(2)证明当t＞0时，F(t)＞

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