双曲函数
双曲函数
在数学中，双曲函数类似于常见的（也叫圆函数的）三角函数。基本双曲函数是双曲正弦“sinh”，双曲余弦“cosh”，从它们导出双曲正切“tanh”等。也类似于三角函数的推导。反函数是反双曲正弦“arsinh”（也叫做“arcsinh”或“asinh”）以次类推
  定义  　双曲函数（hyperbolic function）可借助指数函数定义
双曲正弦(sinh/sh)  　 
双曲余弦(cosh/ch)    　
双曲正切(tanh/th)  　 
双曲余切(coth/cth)  　
双曲正割(sech)    　
sqrt是什么的缩写双曲余割(csch)   
其中，指数函数（exponential function）可由无穷级数定义(Tayor展开)
e是自然对数的底  　e≈2.71828 =
⑺双曲函数的反函数（inverse hyperbolic function）分别记为ar sh z、ar ch z、ar th z等。
简单介绍
  在数学中，双曲函数类似于常见的三角函数（也叫圆函数）。基本双曲函数是双曲正弦“sinh”，双曲余弦“cosh”，从它们导出双曲正切“tanh”等。也类似于三角函数的推导。反函数是反双曲正弦“arsinh”（也叫做“arcsinh”或“asinh”）以此类推。  　双曲函数出现于某些重要的线性微分方程的解中，譬如说定义悬链线和拉普拉斯方程。  　双曲函数接受实数值作为叫做双曲角的自变量。在复分析中，它们简单的是指数函数的有理函数，并因此是完整的。
 
射线出原点交双曲线 x2 − y2 = 1 于点 (ch a,sh a），这里的 a被称为双曲角，是这条射线、它关于 x轴的镜像和双曲线之间的面积。 
如图点 (cost,sint) 定义一个圆，点 (ch t,sh t) 定义了右半直角双曲线这基于了很容易验证的恒等式    和性质 t > 0 对于所有的 t。  　参数 t 不是圆角而是双曲角，它表示在 x 轴和连接原点和双曲线上的点 (ch t,sh t) 的直线之间的面积的两倍。  　
函数 cosh x 是关于 y 轴对称的偶函数。  　
函数 sh x 是奇函数，就是说 -sh x = sh -x 且 sh 0 = 0。
双曲函数与三角函数的关系
双曲函数与三角函数有如下的关系：  　sinh x = -i sin(ix)  　
cosh x = cos(ix)  　
tanh x = -i tan(i x) 
coth x = icot(ix)  　
sech x = sec(ix)  　
csch x = icsc(ix)  　
i 为虚数单位，即 = -1
恒等式
与双曲函数有关的恒等式如下：  　
　                                               
加法公式
sh(x+y) = sh(x) * ch(y) + ch(x) * sh(y)  　
ch(x+y) = ch(x) * ch(y) + sh(x) * sh(y)  　
  　
减法公式
sh(x-y) = sh(x) * ch(y) - ch(x) * sh(y)  　
ch(x-y) = ch(x) * ch(y) - sh(x) * sh(y)  　
th(x-y) = [th(x) - th(y)] / [1 - th(x) * th(y)]  　
cth(x-y)=（1-cth(x) * cth(y))/(cth(x) - cth(y))
二倍角公式
sh（2x) = 2 * sh(x) * ch(x)  　
ch（2x) = ch^2(x) + sh^2(x) = 2 * ch^2(x) - 1 = 2 * sh^2(x) + 1  　
th（2x) = 2th(x)/（1+th^2(x))  　
ch（2x) = （1+cth^2(x))/2cth(x)  　
三倍角公式  　
sh（3x)=3sh(x)+4sh^3(x)  　
ch（3x)=4ch^3(x)-3ch(x)
半角公式
ch^2(x / 2） = (ch(x) + 1） / 2  　
sh^2(x / 2） = (ch(x) - 1） / 2  　
th(x / 2） = (cth(x)-1）/sh(x)=sh(x)/(cth(x)+1）  　
cth(x / 2） = sh(x)/(cth(x)-1）=(cth(x)+1）/sh(x)  　
德 莫佛公式  　（cosh(x）±sinh(x))^n=cosh(nx)±sinh(nx)  　双曲函数的恒等式都在圆三角函数有相应的公式。Osborn's rule指出：将圆三角函数恒等式中，圆函数转成相应的双曲函数，有两个sinh的积时（包括coth^2(x),tanh^2(x),csch^2(x),sinh(x) * sinh(y））则转换正负号，则可得到相应的双曲函数恒等式。如
三倍角公式
sin（3 * x) = 3 * sin(x) − 4 * sin^3(x)  　
sh（3 * x) = 3 * sh(x) + 4 * sh^3(x)
反双曲函数
反双曲函数是双曲函数的反函数. 它们的定义为：  　
arcsh(x) = ln[x + sqrt(x^2 + 1）]  　
arcch(x) = ln[x + sqrt(x^2 - 1）]  　
arcth(x) = ln[sqrt（1 - x^2） / （1 - x)] = ln[（1 + x) / （1 - x)] / 2  　
arccth(x) = ln[sqrt(x^2 - 1） / (x - 1）] = ln[(x + 1） / (x - 1）] / 2  　
arcsch(x) = ± ln[1 + sqrt（1 - x^2） / x]  　
arcxh(x) = ln[1 - sqrt（1 + x^2） / x]，如果 x < 0  　ln[1 + sqrt（1 + x^2） / x]，如果 x > 0  　其中，  　sqrt 为 square root 的缩写，即平方根
双曲函数与反双曲函数的导数
(sh(x))'=ch(x)  　
(ch(x))'=sh(x)  　
 
 
  　
  　
(x<1)  　
(x>1）  　
(|x|<1）  　
(|x|>1）
双曲函数与反双曲函数的不定积分
∫sinh(x)dx=cosh(x)+c  　
∫cosh(x)dx=sinh(x)+c  　
∫sech^2(x)dx=tanh(x)+c  　
∫csch^2(x)dx=-coth(x)+c  　

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