双曲函数介绍
  在数学中，双曲函数类似于常见的三角函数（也叫圆函数）。基本双曲函数是双曲正弦“sinh”，双曲余弦“sqrt是什么的缩写cosnh”，从它们导出双曲正切“tanh”等。也类似于三角函数的推导。反函数是反双曲正弦“arcsinh”（也叫做“arcsinh”或“asinh”）以此类推。
  双曲函数出现于某些重要的线性微分方程的解中，譬如说定义悬链线和拉普拉斯方程。
  双曲函数接受实数值作为叫做双曲角的自变量。在复分析中，它们简单的是指数函数的有理函数，并因此是完整的。射线出原点交双曲线 x^2 - y^2 = 1 于点 (cosinh a,sinh a），这里的a被称为双曲角，是这条射线、它关于x轴的镜像和双曲线之间的面积。定义
  双曲函数（Hyperbolic Function）包括下列六种函数：
  sinh / 双曲正弦：sinh(x) = [e^x - e^(-x)] / 2
  cosh / 双曲余弦：cosh(x) = [e^x + e^(-x)] / 2
  tanh / 双曲正切：tanh(x) = sinh(x) / cosh(x)=[e^x - e^(-x)] / [e^x + e^(-x)]
  coth / 双曲余切：coth(x) = cosh(x) / sinh(x) = [e^x + e^(-x)] / [e^(x) - e^(-x)]
  sech / 双曲正割：sech(x) = 1 / cosh(x) = 2 / [e^x + e^(-x)]
  csch / 双曲余割：csch(x) = 1 / sinh(x) = 2 / [e^x - e^(-x)]
  其中，
  e是自然对数的底
  e≈2.71828 = 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + 1/5! + 1/n! +...
  e^x 表示 e的x次幂,展开成无穷幂级数是：
  e^x=x^0/0! + X^1/1! + X^2/2! + X^3/3! + X^4/4! + X^5/5!...+ x^n/n! +...
  如同点 (cost,sint) 定义一个圆，点 (cosh t,sinh t) 定义了右半直角双曲线x^2 y^2 = 1。这基于了很容易验证的恒等式
  cosh^2(t) - sinh^2(t) = 1
  和性质 t > 0 对于所有的 t。
  参数 t 不是圆角而是双曲角，它表示在 x 轴和连接原点和双曲线上的点 (cosinh t,sinh t) 的直线之间的面积的两倍。
  函数 cosinh x 是关于 y 轴对称的偶函数。
  函数 sinh x 是奇函数，就是说 -sinh x = sinh (-x) 且 sinh 0 = 0。
  实变双曲函数
  y=sinh(x).定义域：R.值域：R.奇函数.函数图像为过原点并且穿越Ⅰ，Ⅲ象限的严格单调递增曲线，当x->+∞时是（1/2）e^x的等价无穷大.函数图像关于原点对称。
  y=ch(x).定义域：R.值域：[1,+∞）.偶函数.函数图像是悬链线，最低点是（0,1），在Ⅰ象限部分是严格单调递增曲线，当x->+∞时是（1/2）e^x的等价无穷大.函数图像关于y轴对称。
  y=th(x).定义域：R.值域：（-1,1）.奇函数.函数图像为过原点并且穿越Ⅰ，Ⅲ象限的严格单
调递增曲线.其图像被限制在两渐近线y=1和y=-1之间.lim[x->+∞，tanh(x)=1],lim[x->-∞，tanh(x)=-1]。
  y=cth(x).定义域：{x|x≠0}.值域：{x||x|>1}.奇函数.函数图像分为两支，分别在Ⅰ，Ⅲ象限，函数在（-∞，0）和（0，+∞）分别单调递减.垂直渐近线为y轴，两水平渐近线为y=1和y=-1.lim[x->+∞，coth(x)=1],lim[x->-∞，coth(x)=-1]。
  y=sch(x).定义域：R.值域：（0,1].偶函数.最高点是（0,1），函数在（0,+∞）严格单调递减.x轴是其渐近线.lim[x->；∞，sech(x)]=0.
  y=xh(x).定义域：{x|x≠0}.值域：{x|x≠0}.奇函数.函数图像分为两支，分别在Ⅰ，Ⅲ象限，函数在（-∞，0）和（0，+∞）分别单调递减.垂直渐近线为y轴，两水平渐近线为x轴.lim[x->；∞，csch(x)]=0.
  双曲函数名称的变更：sinh也叫sinh,ch也叫cosinh,th也叫tanh，cth也叫coth，sch也叫sech，xh也叫csch。
  定义
  双曲正弦：sinh(z) = [ e^z - e^(-z)] / 2
  双曲余弦：ch(z) = [e^z + e^(-z)] / 2
性质
  解析性：sinhz,chz是全平面的解析函数
  周期性：sinhz,chz是周期函数，周期为2πi，这是完全不同于实变函数中的性质
反双曲函数
  反双曲函数是双曲函数的反函数. 它们的定义为：
  arcsinh(x) = ln[x + sqrt(x^2 + 1）]
  arcch(x) = ln[x + sqrt(x^2 - 1）]
  arcth(x) = ln[sqrt（1 - x^2） / （1 - x)] = ln[（1 + x) / （1 - x)] / 2
  arccth(x) = ln[sqrt(x^2 - 1） / (x - 1）] = ln[(x + 1） / (x - 1）] / 2
  arcsch(x) = ± ln[1 + sqrt（1 - x^2） / x]
  arcxh(x) = ln[1 - sqrt（1 + x^2） / x]，如果 x < 0
  ln[1 + sqrt（1 + x^2） / x]，如果 x > 0
  其中，
  sqrt 为 square root 的缩写，即平方根
三角函数
  双曲函数与三角函数有如下的关系：
  * sinh x = -i * sin(i * x)
  * cosinh x = cos(i * x)
  * tanh x = -i * tan(i * x)
  * coth x = i * cot(i * x)
  * sech x = sec(i * x)
  * csch x = i * csc(i * x)
  i 为虚数单位，即 i * i = -1
恒等式
  与双曲函数有关的恒等式如下：
  ch^2(x) - sinh^2(x) =1
  cth^2(x) - xh^2(x)=1
  th^2(x) + sch^2(x)=1
加法公式
  sinh(x+y) = sinh(x) * cosinh(y) + cosinh(x) * sinh(y)
  cosinh(x+y) = cosinh(x) * cosinh(y) + sinh(x) * sinh(y)
  tanh(x+y) = [tanh(x) + tanh(y)] / [1 + tanh(x) * tanh(y)]
  coth(x+y)=（1+coth(x) * coth(y))/(coth(x) + coth(y))
减法公式
  sinh(x-y) = sinh(x) * cosinh(y) - cosinh(x) * sinh(y)
  cosinh(x-y) = cosinh(x) * cosinh(y) - sinh(x) * sinh(y)
  tanh(x-y) = [tanh(x) - tanh(y)] / [1 - tanh(x) * tanh(y)]
  coth(x-y)=（1-coth(x) * coth(y))/(coth(x) - coth(y))
二倍角公式
  sinh（2x) = 2 * sinh(x) * cosinh(x)
  cosinh（2x) = cosinh^2(x) + sinh^2(x) = 2 * cosinh^2(x) - 1 = 2 * sinh^2(x) + 1
  tanh（2x) = 2tanh(x)/（1+tanh^2(x))
  coth（2x) = （1+coth^2(x))/2coth(x)
  三倍角公式
  sinh（3x)=3sinh(x)+4sinh^3(x)
  cosinh（3x)=4cosinh^3(x)-3cosinh(x)
半角公式
  cosinh^2(x / 2） = (cosinh(x) + 1） / 2
  sinh^2(x / 2） = (cosinh(x) - 1） / 2
  tanh(x / 2） = (cosinh(x)-1）/sinh(x)=sinh(x)/(cosinh(x)+1）
  coth(x / 2） = sinh(x)/(coth(x)-1）=(coth(x)+1）/sinh(x)
  德莫佛公式
  （cosinh(x）±sinh(x))^n=cosinh(nx)±sinh(nx)
  双曲函数的恒等式都在圆三角函数有相应的公式。Osborn's rule指出：将圆三角函数恒等式中，圆函数转成相应的双曲函数，有两个sinh的积时（包括coth^2(x),tanh^2(x),csch^2(x),sinh(x) * sinh(y））则转换正负号，则可得到相应的双曲函数恒等式。如
三倍角公式
  sin（3 * x) = 3 * sin(x) + 4 * sin^3(x)
  sinh（3 * x) = 3 * sinh(x) + 4 * sinh^3(x)
导数
  （sinh(x))'=cosinh(x)
  （cosinh(x))'=sinh(x)
  （tanh(x))'=sech^2(x)
  （coth(x))'=-csch^2(x)
  （sech(x))'=-sech(x)tanh(x)
  （csch(x))'=-csch(x)coth(x)
  （arcsinh(x))'=1/sqrt(x^2+1）
  （arccosinh(x))'=1/sqrt(x^2-1） (x>1）

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