恒等式
与双曲函数有关的恒等式如下:
cosh^2(x) - sinh^2(x) =1
coth^2(x)-csch^2(x)=1
tanh^2(x)+sech^2(x)=1
* 加法公式：
sinh(x+y) = sinh(x) * cosh(y) + cosh(x) * sinh(y)
cosh(x+y) = cosh(x) * cosh(y) + sinh(x) * sinh(y)
tanh(x+y) = [tanh(x) + tanh(y)] / [1 + tanh(x) * tanh(y)]
* 减法公式：
sinh(x-y) = sinh(x) * cosh(y) - cosh(x) * sinh(y)
cosh(x-y) = cosh(x) * cosh(y) - sinh(x) * sinh(y)
tanh(x-y) = [tanh(x) - tanh(y)] / [1 - tanh(x) * tanh(y)]
* 二倍角公式：
sinh(2x) = 2 * sinh(x) * cosh(x)
cosh(2x) = cosh^2(x) + sinh^2(x) = 2 * cosh^2(x) - 1 = 2 * sinh^2(x) + 1
* 半角公式：
cosh^2(x / 2) = (cosh(x) + 1) / 2
sinh^2(x / 2) = (cosh(x) - 1) / 2
双曲函数的恒等式都在圆三角函数有相应的公式。Osborn's rule指出：将圆三角函数恒等式中，圆函数转成相应的双曲函数，有两个sinh的积时(包括coth^2(x), tanh^2(x), csch^2(x), sinh(x) * sinh(y))则转换正负号，则可得到相应的双曲函数恒等式。如
* 三倍角公式：
sin(3 * x) = 3 * sin(x) − 4 * sin(2 * x)
sinh(3 * x) = 3 * sinh(x) + 4 * sinh(2 * x)
反双曲函数
sqrt是什么的缩写反双曲函数是双曲函数的反函数. 它们的定义为:
arsinh(x) = ln[x + sqrt(x^2 + 1)]
arcosh(x) = ln[x + sqrt(x^2 - 1)]
artanh(x) = ln[sqrt(1 - x^2) / (1 - x)] = ln[(1 + x) / (1 - x)] / 2 arcoth(x) = ln[sqrt(x^2 - 1) / (x - 1)] = ln[(x + 1) / (x - 1)] / 2 arsech(x) = ± ln[1 + sqrt(1 - x^2) / x]
arcsch(x) = ln[1 - sqrt(1 + x^2) / x] , 如果 x < 0
ln[1 + sqrt(1 + x^2) / x] , 如果 x > 0
其中,
sqrt 为 square root 的缩写 , 即平方根
双曲函数与反双曲函数的导数
(sinh(x))'=cosh(x)
(cosh(x))'=sinh(x)
(tanh(x))'=sech^2(x)
(coth(x))'=-csch^2(x)
(sech(x))'=-sech(x)tanh(x)
(csch(x))'=-csch(x)coth(x)
(arcsinh(x))'=1/sqrt(x^2+1)
(arccosh(x))'=1/sqrt(x^2-1) (x>1)
(arctanh(x))'=1/(1-x^2) (|x|<1)
(arccoth(x))'=1/(1-x^2) (|x|>1)
双曲函数与反双曲函数的不定积分
∫sinh(x)dx=cosh(x)+c
∫cosh(x)dx=sinh(x)+c
∫sech^2(x)dx=tanh(x)+c
∫csch^2(x)dx=-coth(x)+c
∫sech(x)tanh(x)dx=-sech(x)+c
∫csch(x)coth(x)dx=-csch(x)+c
∫tanh(x)dx=ln(cosh(x))+c
∫coth(x)dx=ln|sinh(x)|+c
∫sech(x)dx=arctan(sinh(x))+c=2arctan(e^x)+c1=2arctan(tanh(x/2))+c2∫csch(x)dx=ln|coth(x)-csch(x)+c=ln|tanh(x/2)|+c
∫[1/sqrt(x^2+1)]dx=arcsinh(x)+c=ln(x+sqrt(x^2+1))+c
∫[1/sqrt(x^2-1)]dx=sgn(x)arccosh|x|+c=ln|x+sqrt(x^2-1)|+c
(sgn是符号函数.sgn(x)=x/|x|,x≠0;sgn(x)=0,x=0)

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