我们考虑在三维无界空间中传播的时变波场u，并假定该波场的源和初始扰动被限定在矩形区域Ω中，Ω表示为（。。。）。在Ω之外，我们进一步假定波场的传播速度c是一个常量；因此，所有在三维无界空间里传播的波都是由Ω中发出的。在Ω内部，波场u满足
我们希望截断无界外区，从而把计算区域限定在有限计算域Ω里。这种情况下，我们希望确保所有从Ω发出所传播的波没有恶意的反射（spurious reflection）。因此，我们用三个维度上厚度分别为L1 L2 L3的完美匹配层来包裹Ω，以此吸收从Ω里发出的波。在吸收层内部，u满足修正后的波动方程，该波动方程的解在吸收层内随着传播距离按指数规律进行衰减。
根据论文1,2，我们用u^来表示做拉普拉斯变换后的u，定义为
在Ω之外u^满足亥姆霍兹方程
接下来，我们引进坐标变换，把自然坐标x（i）变换到拉普拉斯变换域下的坐标x^（i）
在吸收层内部，阻尼曲线是正的，而在Ω为零。如果我们要求u做拉普拉斯变换后的u^满足坐标变换后的亥姆霍兹方程
那么，众所周知，此时在Ω内的波场u仍然保持不变，而在吸收层内的u将随距离呈指数规律快速衰减；因此吸收层是完美匹配的。事实上PML修正后的亥姆霍兹方程时标准的，但难点在于如何把（2.7）变回到时间域而不引入高阶导数或太多辅助量
从（2.6）坐标变换中可以发现，关于x（i）的偏导数和关于x^（i）的偏导数有关系，即如下所示
我们现在让r（i）表示З（i）和s
接下来，按照（2.8），我们可以根据拉普拉斯变换后的且满足坐标变换后的亥姆霍兹方程（2.7）得到自然坐标x（i）的亥姆霍兹方程
从（2.9），可以得出下列代数恒等式
结合（2.10）和（2.11），得到自然自然坐标系下变形的亥姆霍兹方程
接下来我们引入辅助函数ψ以及向量ф=（ф1 ф2 ф3）T
我们用辅助函数ψ以及向量ф把（2.12）表示成一种简明的形式后，逆变换回时间域，就得到了PML修正波动方程（2.13）
在Ω内部，阻尼曲线З（i）以及辅助函数html代码翻译中文ψ以及向量ф消失，因此（2.13）回归到（2.1），因为PML公式只要求在吸收层中存在的标量ψ以及ф1 ф2 ф3，而且没有高阶导数，因此它的实现不仅简明，而且花费极小。
在二维空间里，З（3）ψ ф3消失，因此PML简化为（2.14），很明显这里只需要两个辅助函数
在选择阻尼曲线的时候，之前较为无端（只设定为正），因为它可以使常数，也可以是线性函数，还可以是二次型。而在我们的的计算区域，我们始终用（2.15）来表示阻尼曲线。
因为这个阻尼曲线函数在截面x（i）=a（i）处处二次可微，无需特别的传播条件，而常量取决于离散化和均匀的狄拉克雷或黎曼边界条件截断的那一层的厚度。接下来，相关的反射系数由（2.16）给出。
在表一中，我们可以看到（2.15）的不同值下的常量的阻尼曲线。

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