实验四  电磁实验仿真 —点电荷电场分布的模拟
一. 实验目的
电磁场是一种看不见摸不着但又客观存在的物质，通过使用Matlab仿真电磁场的空间分布可以帮助我们建立场的图景，加深对电磁理论的理解和掌握。按照矢量分析，一个矢量场的空间分布可由其矢量线（也称力线）来形象表示。点电荷的电场就是一个矢量场，模拟其电力线的分布可以得到电场的空间分布。通过本次上机实验希望达到以下目的：
1. 学会使用MATLAB绘制电磁场力线图和矢量图的方法；
2. 熟悉二维绘图函数contour、quiver的使用方法。
二. 实验原理
根据库仑定律，真空中的一个点电荷q激发的电场
(高斯制)      (1)
其中r是观察点相对电荷的位置矢量。考虑相距为d的两个点电荷q1和q2，以它们的中点建立坐标（如图），根据叠加原理，q1和q2激发的电场为：
  (2)
由于对称性，所有包含电荷的平面上，电场的分布一样，所以只需要考虑xy平面上的电场分布，故
  (3)
其中。根据电动力学知识（参见谢处方，《电磁场与电磁波》，1.4.1节），电场矢量线（或电力线）满足微分方程：
(4)
代入(3)式解得电力线满足的方程
  (5)
其中C是积分常数。每一个C值对应一根电力线。
    电场的分布也可以由电势U的梯度(gradient，为矢量)的负值计算，根据电磁学知识，易知两点电荷q1和q2的电势
    (6)
那么电场为              (7)
或者                      (8)
在Matlab中，提供了计算梯度的函数gradient()。只要计算出电势，那么通过该函数可以方便的计算出电场。
三. 实验内容
1. 平面电力线的绘制
    根据前面分析，真空中相距为d的两个点电荷q1和q2所激发电场的电力线方程由(5)式描述。令(5)式左边为函数u(x,y),则(5)式可以改写成如下形式：
      (9)
从数学上看，该式恰好是二维等值线方程：所有满足该式的空间点(x,y)都有相同的函数值u=C。因此绘制电力线，其实就是绘制函数u(x,y)的等值线（或称等高线）。Matlab提供了contour指令用于绘制二维等值线（等高线）图。该指令的使用格式如下：
[S,h]=contour(X,Y,Z,V,LineSpec)
其中，X，Y，Z为同维的矩阵，X，Y指定平面上点的x、y坐标，可由meshgrid命令取得，在本例中：
x=–5:0.1:5;  y=-5:0.1:5;  [X,Y]=meshgrid(x, y);
Z是函数u(x,y)在坐标X,Y上的值（即相对xy面的高度值），V 是向量，用于指定用户打算绘
制的各条等高线的高度值。LineSpec用于指定绘图的线型和颜，如’r :’代表红点线；h 是返回的句柄值。返回值S是包含所有等高线的数值矩阵，使用clabel(S)指令可以给每条等高线添上其高度值。
例子1：绘制二维函数在区间上的等高线图。
[X,Y] = meshgrid(-2:0.2:2,-2:0.2:3);
Z = X.*exp(-X.^2-Y.^2);
K=-0.4:0.1:0.4;    % 指定了8条等高线的高度值
[S,h] = contour(X,Y,Z,K);    % 绘制等高线
clabel(S);      % 给每条等高线打上标签(高度值)
结果如图：
在方程(5)中，给定每条电力线的高度值C，使用contour命令就可以绘出相应的电力线图。例如可取C=-5:0.22:5，将绘出高度值在[-5,5]之间的若干条电力线，每条电力线的高度值相差0.22。
2. 电势分布的绘制
如前所述，点电荷q1和q2形成的电势分布由(6)式给出。在电磁学中为了形象的描绘出电势的空间分布，引入了等势线。根据(6)式，点电荷q1和q2的等势线方程：
    (10)
显然(10)式也是等值线(等高线)方程，每一个常数C的值对应一条等势线。所以使用contour指令可以绘制出等势线图，具体方法同上。
3. 电场矢量图的绘制
    不同于电力线图，电场矢量图直接给出空间各点电场强度矢量E的大小和方向。首先根据(3)式计算每点的电场的x，y分量Ex和Ey，然后使用quiver指令绘制带箭头(表示方向)的电场矢量图。使用格式：
H=quiver(X,Y,U,V,scale)
与contour命令类似，参数X，Y用于指定平面上点的x、y坐标，可由meshgrid命令取得；参数U和V为矩阵，分别代表二维矢量在点(X,Y)处的两个分量，例如电场强度的两个分量Ex和Ey；参数scale指定箭头的缩放比例，例如scale=2代表矢量长度自动放大一倍，scale=0.5则是自动缩小一倍，scale=0自动缩放功能失效。所以绘制电场矢量图的命令格式为
H=quiver(X,Y,Ex,Ey,scale)
为了使箭头等长，绘图前应该先将场强分量Ex和Ey归一化处理：令电场大小E=sqrt(Ex.^2+Ey.^2)，则归一化电场分量是Ex=Ex./E；matlab等高线填充颜Ey=Ey./E。
    除了利用(3)式可以计算电场的两个分量Ex和Ey，使用电势梯度的负值也可以计算Ex和Ey（参见8式）：先按(6)式计算平面各点(X,Y)的电势U(X,Y) ；然后使用gradient命令计算电势的梯度的负值
[Ex,Ey]=gradient(-U)
该命令的两个输出参数分别给出梯度矢量的两个分量Ex和Ey。
4. 绘制点电荷
    可以在电荷所在位置上用一定大小的圆形标记“o”来表示点电荷，例如
plot(0,d/2,'marker','o','markersize',10,'markerfacecolor','g','markeredgecolor','g');
四. 实验要求
令q1=1，q2=-4，d=2,绘制矩形区域上的电力线图、电势分布图以及电场矢量图，并给图形加上标注，如附图所示。绘制力线时，方程(5)中的C可取C=-5:0.22:5；绘制电势分布图时，(10)式中的C可取C=-4:0.55:1;绘制矢量图时，缩放比例可以设为0.5。
附结果图：

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