26. Logistic回归
   
（一）Logistic回归
一、原理
二元或多元线性回归的因变量都是连续型变量，若因变量是分类变量（例如：患病与不患病；不重要、重要、非常重要），就需要用Logistic回归。
Logistic回归分析可以从统计意义上估计出在其它自变量固定不变的情况下，每个自变量对因变量取某个值的概率的数值影响大小。
Logistic回归模型有“条件”与“非条件”之分，前者适用于配对病例对照资料的分析，后者适用于队列研究或非配对的病例-对照研究成组资料的分析。
对于二分类因变量，y=1表示事件发生；y=0表示事件不发生。事件发生的条件概率P{ y=1 | xi } 与 xi 之间是非线性关系，通常是单调的，即随着xi 的增加/减少，P{ y=1 | xi } 也增加/减少。
Logistic函数F(x)=，图形如下图所示：
该函数值域在(0,1)之间，x趋于-∞时，F(x)趋于0；x趋于+∞时，F(x)趋于1. 正好适合描述概率P{ y=1 | xi }. 例如，某因素x导致患病与否：x在某一水平段内变化时，对患病概率的影响较大；而在x较低或较高时对患病概率影响都不大。
记事件发生的条件概率P{ y=1 | xi } = pi，则
pi = =
记事件不发生的条件概率为
1- pi =
则在条件xi下，事件发生概率与事件不发生概率之比为
=
称为事件的发生比，简记为odds. 对odds取自然对数得到
上式左边（对数发生比）记为Logit(y), 称为y的Logit变换。可见变换之后的Logit(y)就可以用线性回归，计算出回归系数α和β值。
若分类因变量y与多个自变量xi有关，则变换后Logit(y)可由多元线性回归：
或           
二、回归参数的解释
1. 三个名词
发生比（odds）= =
例如，事件发生概率为0.6，不发生概率为0.4，则发生比为1.5（发生比>1，表示事件更可能发生）。
发生比率（OR）= = = =
即主对角线乘积/副对角线乘积，也称为交叉积比率，优势比。例如，
说明：大于1（小于1）的发生比率，表明事件发生的可能性会提高（降低），或自变量对事件概率有正（负）的作用；发生比率为1表示变量对事件概率无作用。
相对风险（RR）= = 
用来进行两组概率之间的比较。当p1= p2时，相对风险为1，表明两组在事件发生方面没有差别。
2. 连续型自变量回归参数的解释
截距α ： 基准发生比的对数，即当Logistic回归模型中没有任何自变量时（除常量外，所有自变量都取0值）所产生的发生比。
由于理解发生比，比理解对数发生比更容易，故将Logistic回归模型改写为：
odds = =
若βk>0（βk<0），则>1（<1）, 即xk每增加一个单位值时发生比会相应增加（减少）；若βk=0，则=1, 那么xk不论怎样变化发生比都不会变化。
反映了自变量xk增加一个单位时发生比所变化的倍数，即(xk+1)时的发生比与原发生比【(xk)时】之比。自变量xk每变化一个单位，发生比率的变化率为
注：由于βk是自变量xkodds的偏系数估计，故称为调整发生比率（AOR）的估计。实际中，往往更关心的不是自变量变化1个单位，而是变化一段水平b-a个单位，例如年龄每增加5岁，此时调整发生比率为
AOR =
3. 二分类自变量回归参数的解释
二分类变量，例如性别，取值可以用0或1编码，也称为标志变量或虚拟变量。
若xk为取值0或1的二分类变量，则有
两式作差得
可见βk就是在控制其它变量条件下，xk=1与xk=0的对数发生比的差；也即是发生比率的对数，即调整发生比率的估计可表示为
=
注意，发生比率是，而不是两者概率比
4. 多分类变量的处理与回归参数的解释
当分类自变量多于两个类别时，需要建立一组虚拟变量来代表类型的归属性质。若一个分类变量包括m个类别，则可以产生m个相应的虚拟变量，但建模需要的虚拟变量的数目为m-1. 省略的那个类别作为参照类。
例如，年龄是有序变量，按年龄段分为四个类别：x<40，40≤x<50，50≤x<60, x≥60.
设置3个虚拟变量Age1表示40≤x<50（属于该年龄段则Age1=1，否则Age1=0）；Age2表示50≤x<60（属于该年龄段则Age2=1，否则Age2=0）；Age3 表示x≥60（属于该年龄段则Age3=1，否则Age3=0）；另一个不指定虚拟变量的x<40作为参照类（Age1，Age2，Age3都为0；哪一类作为参照类是随意的，取决于偏好或解释的方便）。
则模型为
同二分类变量时一样，β1代表40≤x<50与参照类（Age0: x<40）在因变量上的差别，故
β1 = ln(odds)Age1 vs Age0
且40≤x<50对 x<40的发生比率为.
注：（1）名义变量直接就是分类变量；连续变量也可以改为分类变量，例如考试成绩按分数段分为高、中、低三档。
（2）另外，也可采用效应变量编码，三种取值：-1, 0(参照类), 1.
（3）用SAS中CLASS语句指定分类变量，可以自动进行效应编码，作为一组变量纳入模型，并对每一类别单独做显著性检验。
5. 用概率解释自变量的作用

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