常用时频变换方法的浅析与比较
摘 要:傅里叶变换、短时傅里叶变换和小波变换是信号处理中最常用的时频变换工具,本文对这三种常用时频变换工具进行了理论介绍,并比较和分析了三种变换方法在信号处理中特点和存在的缺陷。
关键词:傅里叶变换短时傅里叶变换小波变换heisenberg测不准原理
在信号的描述中时间和频率是两个最重要的物理量,这两个物理量之间有着密不可分的联系。而时频分析方法的目的就是在于构造一种时间和频率的密度函数,以便更好地揭示信号中的频率分量及其随时间的变化过程。
1 傅里叶变换
傅里叶变换[1]从纯粹的数学意义上看是将一个函数转换为一系列周期函数来处理的。从物理效果看,傅立叶变换是将信号从时间域转换到频率域,其逆变换是将信号从频率域转换到时间域。其数学表达形式如下:
(1)
的逆变换为:
(2)
傅里叶变换将信号的时域和频域联系了起来,能够通过对信号的频域分析更加清晰地了解信号的变化规律。但是,傅里叶变换需要利用信号的全部时域信息得到信号的频域特性,只能单独地反应信号的时域特性或频域特性。对非平稳信号而言在分析时,希望能够知道其频域特性,同时得知在频谱中的频率在时间域上的发生时间,而傅立叶变换不能反映随时间的变化信号频率的变化情况。
2 短时傅立叶变换
dennis gabor于1946年引入了短时傅立叶变换[2],其基本思想是用一个窗函数来截取信号,假定信号在窗内是平稳的,利用傅立叶变换分析窗内的信号,以确定窗内存在的频率成分,然后沿着信号时间方向移动窗函数,得到频率随时间的变化关系,即所需的时频分布[3]。信号的stft的表达式为:
(3)
为窗函数。随着时间的变化,所确定的时间窗在轴上移动,对逐步进行分析。因此,反映了在时刻频率处信号内容的相对含量。这样,信号在窗函数上的展开就可以表示为在、这一区域内的状态。短时傅立叶变换在窗函数固定下来以后,它的频率窗和时间窗的大小和形状就固定了,如图1所示。为了得到更好的时频分析效果,和应尽可能小。但是heisenberg测不准原理指出,和是互相制约的,两者不可能同时都任意小。
heisenberg测不准原理[4]:
(4)
上是表明在时间轴和频率轴上,不可能同时获得任意小的精度。因此,一旦窗函数确定,窗口的形状和大小都将保持不变,与频率无关。若要改变分辨率,则需要重新选择窗函数。
对于非平稳信号,当信号变化剧烈时,要求窗函数有较高的时间分辨率;而在波形变化比较平缓的间段内主要是低频信号,则要求窗函数有较高的频率分辨率。但是,短时傅里叶变换固定的窗函数却不能兼顾频率与时间分辨率的要求。
3 小波变换
小波变换利用了一个具有快速衰减性和振荡性的函数—— 母小波,将其伸缩和平移得到了一族函数,称为小波基函数。小波基函数在时频相平面具有可变的时间窗和频率窗,以适应不同的分辨率。
由图2所示的小波变换的时频窗可以看出小波变换中的窗函数随中心频率的变化而变化,在高频处时间窗变窄,在低频处频率窗变宽[5],因此小波分析方法是一种窗口大小固定,但其形状可变(时间窗和频率窗都可改变)的时频局域化分析方法。即在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率,在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率。正是这种特性,使小波变换具有了对信号的自适应性,因此更适合对信号进行时频分析。
由上述分析可看出,傅里叶变换是一种纯频域的分析方法,而非平稳信号的分析却需要能够同时进行时域和频域分析的变换工具。短时傅立叶变换是窗口大小固定且形状固定不变的分析方法,但是不能兼顾频率和时间域的分析要求。而小波变换的出现满足了在信号处理中时域和频域中都具有局部表征能力的特性,是一种窗口大小固定不变但是其形状可改变的分析方法,并且具有多分辨率分析的特点,因此被誉为信号分析领域的显微镜。
参考文献
[1]    胡昌华,张军波,夏军,等.基于matlab6.5辅助小波分析与应用[m].北京:电子工业出版社.2003,74～98.短时傅里叶变换matlab程序
[2]    garbor d.theory of communication[j].journal of the institute of electrical engineers,1946,93:429～457.
[3]    付丽华李宏伟,张猛.基于小波变换的复杂噪声背景中谐波恢复方法[j].工程地球物理学报.2005,2(1):21～28.
[4]    曾大有,王晓威,邓风茹.量子力学中的heisenberg测不准原理的数学推倒以及在小波分析中的应用[j].华北航天工业学院学报,2006,16(8):33～36.
[5]    chui c k.an introduction to wavelets[m].academic press,1992.

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