matlab最⼩⼆乘法数据拟合函数详解
定义:最⼩⼆乘法(⼜称最⼩平⽅法)是⼀种数学优化技术。它通过最⼩化误差的平⽅和寻数据的最佳函数匹配。利⽤最⼩⼆乘法可以简便地求得未知的数据,并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平⽅和为最⼩。最⼩⼆乘法还可⽤于曲线拟合。其他⼀些优化问题也可通过最⼩化能量或最⼤化熵⽤最⼩⼆乘法来表达。
最⼩⼆乘法原理:在我们研究两个变量(x,y)之间的相互关系时,通常可以得到⼀系列成对的数据(x1,y1. xm,ym);将这些数据描绘在x -y直⾓坐标系中,若发现这些点在⼀条直线附近,可以令这条直线⽅程如(式1-1)。Yj= a0 + a1 X (式1-1),其中:a0、a1 是任意实数。
matlab中⽤最⼩⼆乘拟合的常⽤函数有polyfit(多项式拟合)、nlinfit(⾮线性拟合)以及regress(多元线性回归)。⾃变量有2个或以上时,应变量⼀个,可以使⽤的有nlinfit和regress,线性时⽤regress,⾮线性时⽤nlinfit。对于进阶matlab使⽤者还有更多的选择,如拟合⼯具箱、fit函数、interp系列插值拟合等等。
MATLAB中关于最⼩⼆乘法的函数主要有:
help polyfit -- POLYFIT Fit polynomial to data.
help lsqcurvefit -- LSQCURVEFIT solves non-linear least squares problems.
help lsqnonlin -- LSQNONLIN solves non-linear least squares problems.
help nlinfit -- NLINFIT Nonlinear least-squares regression.
help regress -- REGRESS Multiple linear regression using least squares.
help meshgrid -- MESHGRID X and Y arrays for 3-D plots.
本⽂主要讲解的函数:polyfit,lsqcurvefit,lsqnonlin,regress
1.多项式曲线拟合:polyfit
1.1 常见拟合曲线
直线: y=a0X+a1
多项式:,⼀般次数不易过⾼2,3
双曲线: y=a0/x+a1
指数曲线: y=a*e^b
matlab拟合数据1.2 matlab中函数
P=polyfit(x,y,n)
[P S mu]=polyfit(x,y,n)
polyval(P,t):返回n次多项式在t处的值
注:其中x y已知数据点向量分别表⽰横纵坐标,n为拟合多项式的次数,结果返回:P-返回n次拟合多项式系数从⾼到低依次存放于向量P中,S-包含三个值其中normr是残差平⽅和,mu-包含两个值 mean(x)均值,std(x)标准差。
1.3 举例
1.已知观测数据为:
X:0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1
Y:-0.447 1.987 3.28 6.16 7.08 7.34 7.66 9.56 9.48 9.3 11.2
⽤三次多项式曲线拟合这些数据点:
x=0:0.1:1
y=[- 0.447,1.978,3.28,6.16,7.08,7.34,7.66,9.56,9.48,9.3,11. 2]
plot(x,y,'k.','markersize',25)
hold on
axis([0 1.3 -2 16])
P3=polyfit(x,y,3)
t=0:0.1:1.2;
S3=polyval(P3,t);
plot(t,S3,'r');
2.拟合为指数曲线
注:在对已测数据不太明确满⾜什么关系时,需要假设为多种曲线拟合然后⽐较各⾃的residal(均⽅误差)越⼩者为优,多项式拟合不是拟合次数越⾼越好,⽽是残差越⼩越好。
2.⾮线性曲线拟合:lsqcurvefit
X=lsqcurvefit(fun,X0,xdata,ydata)
[X,resnorm]=lsqcurvefit(fun,X0,xdata,ydata)
注:其中xdata ydata为给定数据横纵坐标,按照函数⽂件fun给定的函数以X0为初值做最⼩乘⼆拟合,返回函数fun中的系数向量X和残差的平⽅和resnorm。
2.1 例如
已知观测数据:
求三个参数a b c的值是的曲线f(x)=a*e^x+b*X^2+c*X^3
已知数据点在最⼩⼆乘意义上充分接近
⾸先编写拟合函数⽂件
fun function f=fun(X,xdata)
f=X(1)*exp(xdata)+X(2)*xdata.^2+X(3)*xdata.^3
保存⽂件fun.m
编写函数调⽤拟合函数⽂件
xdata=0:0.1:1;
ydata=[3.1 3.27 3.81 4.5 5.18 6 ....13.17];
X0=[0 0 0];
[X,resnorm]=lsqcurvefit(@fun,X0,xdata,ydata)
运⾏显⽰:
X=
3.0022
4.0304 0.9404
resnorm=
0.0912
综上:最⼩乘⼆意义上的最佳拟合函数为
f(x)=3.0022x+4.0304x^2+0.9404x^3
残差平⽅和:0.0912
注:在针对只有⼀些已测数据⽽不太清楚最⼩乘⼆拟合函数时,采取先打印出已知数据的散点图,然后观察散点图⼤概分布趋向,再确定拟合函数,也可以确定多个,最后⽐较残差选择最优最⼩乘⼆拟合函数,再者初始值的给定也很重要。
lsqnonlin(fun,X0):最⼩⼆乘拟合函数
3.多元线性回归:regress
regress虽然名义上只能做线性回归但是可以把x^2等⾮线性量作为⼀个额外⾃变量做计算,因此在⼀些特殊情况下也可以做⾮线性拟合。
以matlab⾃带的数据为样本,⽰例代码如下:(%后⾯的是注释)
clc;clear;
load carsmall%此数据样本matlab⾃带
x=Weight;y=Horsepower;z=MPG;%取这3个变量作为拟合对象,x、y⾃变量,z应变量
plot3(x,y,z,'p');
hold on;
c=ones(length(x),1);
b=regress(z,[x,y,c]);%纯线性拟合模型z=b(1)*x+b(2)*y+b(3)
[X,Y]=meshgrid(linspace(1500,5000,10),linspace(40,240,10));
C=ones(10);
mesh(X,Y,b(1)*X+b(2)*Y+b(3)*C);
grid on;
b=regress(z,[x.^2,y.^2,x.*y,x,y,c]);%添加⾮线性项进⾏拟合
figure,plot3(x,y,z,'p');
hold on;
mesh(X,Y,b(1)*X.^2+b(2)*Y.^2+b(3)*X.*Y+b(4)*X+b(5)*Y+b(6)*C);
grid on;
本讲完,谢谢!
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