MATLAB中如何直接曲线拟合，而不使用cftool的GUI界面
（这里使用的版本是MATLAB 2009a）
我们知道在MATLAB中有个很方便的曲线拟合工具：cftool
最基本的使用方法如下，假设我们需要拟合的点集存放在两个向量X和Y中，分别储存着各离散点的横坐标和纵坐标，则在MATLAB中直接键入命令 cftool(X,Y) matlab拟合数据就会弹出Curve Fitting Tool的GUI界面，点击界面上的fitting即可开始曲线拟合。
MATLAB提供了各种曲线拟合方法，例如：Exponential, Fourier, Gaussing, Interpolant, Polynomial, Power, Rational, Smoothing Spline, Sum of Functions, Weibull等，当然，也可以使用 Custom Equations.
cftool不仅可以绘制拟合后的曲线、给出拟合参数，还能给出拟合好坏的评价参数(Goodness of fit)如SSE, R-square, RMSE等数据，非常好用。但是如果我们已经确定了拟合的方法，只需要对数据进行计算，那么这种GUI的操作方式就不太适合了，比如在m文件中就不方便直接调用cftool。
MATLAB已经给出了解决办法，可以在cftool中根据情况生成特定的m文件，让我们直接进行特定的曲线拟合并给出参数。具体方法在帮助文件的如下文档中" \ Curve Fitting Toolbox \ Generating M-files From Curve Fitting Tool " ，以下简单举例说明：
以双球从第125期到第145期蓝球为Y值：
Y=[12 15 4 1 7 11 5 7 1 6 16 1 1 14 2 12 9 13 10 12 11];
X=1:1:21;
cftool(X,Y);
点击Fitting选择最常用的多项式拟合(Polynomial)，选择3次多项式拟合(cubic)，然后就会出现如下拟合图形：

然后在Curve Fitting Tool窗口中点击 " \ File \ Generate M-file " 即可生成能直接曲线拟合的m函数文件，其中使用的拟合方法就是刚才使用的三次多项式拟合，文件中这条语句证明了这一点：
ft_ = fittype('poly3');
保存该m文件（默认叫做createFit.m），调用方法和通常的m文件一样，使用不同的X和Y值就能拟合出不同的曲线。但是，这种调用方法只能看到一个拟合出的图形窗口，拟合参数以及Goodness of fit参数都看不到了，因此需要在刚才的m文件中稍作修改。
到这句话：
cf_ = fit(X(ok_),Y(ok_),ft_);
修改为：
[cf_,gof] = fit(X(ok_),Y(ok_),ft_);
然后将函数声明 function createFit(X,Y) 修改为 function [cf_,gof] = createFit(X,Y) ，这样我们再调用试试看：
Y=[12 15 4 1 7 11 5 7 1 6 16 1 1 14 2 12 9 13 10 12 11];
X=1:1:21;
[c,g]=createFit(X,Y);
这样就会弹出拟合图形的窗口，然后再键入c和g，就能查看多项式拟合参数及拟合评价参数啦。
c和g分别是1×1 cfit 数据类型和1×1 struct 数据类型。本例中c包括p1, p2, p3, p4四个成员，即三次曲线拟合的参数；g包括rmse等成员，即拟合评价参数。如果要在程序中引用这些数据，用法和 C/C++ 一样：
a=c.p1;
se;
MATLAB中直接曲线拟合就讲到这里，相信大家用过一两次后就能熟练使用了。
一、 单一变量的曲线逼近
Matlab有一个功能强大的曲线拟合工具箱 cftool ，使用方便，能实现多种类型的线性、非线性曲线拟合。下面结合我使用的 Matlab R2007b 来简单介绍如何使用这个工具箱。
假设我们要拟合的函数形式是 y=A*x*x + B*x, 且A>0,B>0 。
1、在命令行输入数据：
》x=[110.3323 148.7328 178.064 202.8258033 224.7105 244.5711 262.908 280.0447 296.204 311.5475]；
》y=[5 10 15 20 25 30 35 40 45 50]；
2、启动曲线拟合工具箱
》cftool
3、进入曲线拟合工具箱界面“Curve Fitting tool”
（1）点击“Data”按钮，弹出“Data”窗口；
（2）利用X data和Y data的下拉菜单读入数据x,y，可修改数据集名“Data set name”，然后点击“Create data set”按钮，退出“Data”窗口，返回工具箱界面，这时会自动画出数据集的曲线图；
（3）点击“Fitting”按钮，弹出“Fitting”窗口；
（4）点击“New fit”按钮，可修改拟合项目名称“Fit name”，通过“Data set”下拉菜单选择数据集，然后通过下拉菜单“Type of fit”选择拟合曲线的类型，工具箱提供的拟合类型有：
Custom Equations：用户自定义的函数类型
Exponential：指数逼近，有2种类型， a*exp(b*x) 、 a*exp(b*x) + c*exp(d*x)
Fourier：傅立叶逼近，有7种类型，基础型是 a0 + a1*cos(x*w) + b1*sin(x*w)
Gaussian：高斯逼近，有8种类型，基础型是 a1*exp(-((x-b1)/c1)^2)
Interpolant：插值逼近，有4种类型，linear、nearest neighbor、cubic spline、shape-preserving
Polynomial：多形式逼近，有9种类型，linear ~、quadratic ~、cubic ~、4-9th degree ~
Power：幂逼近，有2种类型，a*x^b 、a*x^b + c
Rational：有理数逼近，分子、分母共有的类型是linear ~、quadratic ~、cubic ~、4-5th degree ~；此外，分子还包括constant型
Smoothing Spline：平滑逼近（翻译的不大恰当，不好意思）
Sum of Sin Functions：正弦曲线逼近，有8种类型，基础型是 a1*sin(b1*x + c1)
Weibull：只有一种，a*b*x^(b-1)*exp(-a*x^b)
选择好所需的拟合曲线类型及其子类型，并进行相关设置：
——如果是非自定义的类型，根据实际需要点击“Fit options”按钮，设置拟合算法、修改待估
计参数的上下限等参数；
——如果选Custom Equations，点击“New”按钮，弹出自定义函数等式窗口，有“Linear Equations线性等式”和“General Equations构造等式”两种标签。
在本例中选Custom Equations，点击“New”按钮，选择“General Equations”标签，输入函数类型y=a*x*x + b*x，设置参数a、b的上下限，然后点击OK。
（5）类型设置完成后，点击“Apply”按钮，就可以在Results框中得到拟合结果，如下例：
general model:
f(x) = a*x*x+b*x
Coefficients (with 95% confidence bounds):
a = 0.009194 (0.009019, 0.00937)
b = 1.78e-011 (fixed at bound)
Goodness of fit:
SSE: 6.146
R-square: 0.997
Adjusted R-square: 0.997
RMSE: 0.8263
同时，也会在工具箱窗口中显示拟合曲线。
这样，就完成一次曲线拟合啦，十分方便快捷。当然，如果你觉得拟合效果不好，还可以在“Fitting”窗口点击“New fit”按钮，按照步骤（4）~（5）进行一次新的拟合。
不过，需要注意的是，cftool 工具箱只能进行单个变量的曲线拟合，即待拟合的公式中，变量只能有一个。对于混合型的曲线，例如 y = a*x + b/x ，工具箱的拟合效果并不好。下一篇文章我介绍帮同学做的一个非线性函数的曲线拟合。
6)Matlab中如何作线性拟合/线性回归/多元线性回归？
:#FangQ(Qianqian.Fang@Dartmouth.Edu),2002/6/21, BigGreen/MathTools #

即用y=a*x+b来拟合一组数据{{x1,y1},{x2,y2}…{xn,yn}}
matlab中使用polyfit
x=data(:,1);
y=data(:,2);
p=polyfit(x,y,1);
p(1)为斜率a，p(2)为截距b

多元线性回归即用y=a1*x1+a2*x2+..+am*xm来拟合数据点{x1i,x2i,…xmi,yi}
(i=1~n)

|x11,x21,…xm1|
A=|x12,x22,…xm2|
|…………… |
|x1n,x2n,…xmn|

Y={y1,y2,y3,…,yn}'

则系数{a1,a2,…,am}'=pinv(A)*Y
在matlab中使用
coeff=A\Y
则可以得到最小二乘意义上的拟合系数

7)Matlab中如何作圆回归？ :#Peter Boettcher (boettcher@ll.mit.edu),2002/5/16, comp.soft-sys.matlab#

Q5.5: How can I fit a circle to a set of XY data?
=================================================


An elegant chunk of code to perform least-squares circle fitting was
written by Bucher Izhak and has been floating around the newgroup for
some time. The first reference to it that I can find is in:

function [xc,yc,R,a] = circfit(x,y)
%CIRCFIT Fits a circle in x,y plane
%
% [XC, YC, R, A] = CIRCFIT(X,Y)
% Result is center point (yc,xc) and radius R.A is an optional
% output describing the circle's equation:
%
% x^2+y^2+a(1)*x+a(2)*y+a(3)=0

% by Bucher izhak 25/oct/1991


n=length(x); xx=x.*x; yy=y.*y; xy=x.*y;
A=[sum(x) sum(y) n;sum(xy) sum(yy) sum(y);sum(xx) sum(xy) sum(x)];
B=[-sum(xx+yy) ; -sum(xx.*y+yy.*y) ; -sum(xx.*x+xy.*y)];
a=A\B;
xc = -.5*a(1);
yc = -.5*a(2);
R = sqrt((a(1)^2+a(2)^2)/4-a(3));

Tom Davis provided a more sophisticated approach that works for more
cases in and Code included.

8)Matlab中如何绘制箭头？ :#FangQ(Qianqian.Fang@Dartmouth.Edu),2002/6/21, SMTH/MathTools #

到www.mathworks/matlabcentral/fileexchange/index.jsp 
2-D Plotting and Graphics中查arrow.m，或者
www.mathworks/matlabcentral/spotlight/arrows.shtml 
www.math.umd.edu/~jec/matcomp/matcompmfiles/mfiles.html 
Matlab中如何作圆回归？
       
        An elegant chunk of code to perform least-squares circle fitting 
        was written by Bucher Izhak and has been floating around the 
        newgroup for some time.  The first reference to it that I can 
        find is in:

                 function [xc,yc,R,a] = circfit(x,y)
                 %CIRCFIT  Fits a circle in x,y plane
                 %
                 % [XC, YC, R, A] = CIRCFIT(X,Y)
                 % Result is center point (yc,xc) and radius R.A is an 
                 % optional output describing the circle's equation:
                 %
                 %   x^2+y^2+a(1)*x+a(2)*y+a(3)=0
 
                 % by Bucher izhak 25/oct/1991
 
                 n=length(x);  xx=x.*x; yy=y.*y; xy=x.*y;
                 A=[sum(x) sum(y) n;sum(xy) sum(yy)...
                    sum(y);sum(xx) sum(xy) sum(x)];
                 B=[-sum(xx+yy) ; -sum(xx.*y+yy.*y) ; -sum(xx.*x+xy.*y)];
                 a=A\B;
                 xc = -.5*a(1);
                 yc = -.5*a(2);
                 R  =  sqrt((a(1)^2+a(2)^2)/4-a(3));


           Tom Davis provided a more sophisticated approach that works 
        for more cases in  and Code included.

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