第一部分 预测方法
案例1：基于灰预测和差分方程的中国人口增长趋势的研究 
中国是一个人口大国，人口众多、资源相对不足、环境承载能力较弱等是中国现阶段的基本国情。人口问题始终是制约中国发展的关键因素之一，因此，对中国人口的增长趋势做出分析和预测显得非常重要。关于中国人口问题已有多方面的研究，并积累了大量的研究成果和数据资料。另外发现，近年来，中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。那么，根据已有的数据资料，运用数学建模的方法，对中国人口进行分析和预测是一种较有效的方法。本案例以全国赛2007年A题为背景，先运用灰预测GM（1,1）模型对育龄妇女的生育率进行预测，然后利用差分方程建立人口预测模型。
案例2：运用拉氏变换与逆变换来求解微分方程
已知无源电路如图所示，试建立电路的微分方程并求出的关系式
案例3：基于微分方程理论的SARS传播模型 
SARS（Severe Acute Respiratory Syndrome，严重急性呼吸道综合症, 俗称：非典型肺炎）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我
们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。本案例以全国赛2003年A题为背景，运用微分方程理论对SARS 的传播建立数学模型.
案例4：基于微分方程的最优捕鱼策略
为了保护人类赖以生存的自然环境，可再生资源（如渔业、林业资源）的开发必须适度，一种合理、简化的策略是，在实现可持续收获的前提下，追求最大产量或最佳效益。考虑对某种鱼的最优捕鱼策略：假设这种鱼分4个年龄组：称1龄鱼，…,4龄组，各年龄组每条鱼的平均重量分别为5.07，11.55，17.86，22.99（克）各年龄组鱼的自然死亡率均为0.8（1/年）这种鱼为季节性集中产卵繁殖，平均每条4龄鱼的产卵量为1.109× 个，3龄鱼的产卵量为这个数的一半，2龄鱼和1龄鱼不产卵 产卵和孵化期为每年的最后4个月，卵孵化并成活为1龄鱼，成活率（1龄鱼条数与产卵总量n之比）为1.22 × /1.22× +n） 
渔业管理部门规定每年只允许在产卵孵化期前的8个月内进行捕捞作业 如果每年投入的捕捞能力 如渔船数 下网次数等 固定不变 这时单位固定时间捕捞量将与各年龄组鱼条数成正比比例系数不妨称捕捞强度系数 通常使用13mm网眼的拉网这种网只能捕捞3龄鱼和4龄鱼 其两个捕捞强度系数之比为
0.42：1 渔业上称这种方式为固定努力量捕捞。本案例以全国赛1996年A题为背景，运用微分方程理论建立数学模型分析如何实现可持续捕捞。
案例5：基于时间序列分析方法的长江水质预测问题
水是人类赖以生存的资源，保护水资源就是保护我们自己，对于我国大江大河水资源的保护和治理应是重中之重。专家们呼吁：“以人为本，建设文明和谐社会，改善人与自然的环境，减少污染。”
长江是我国第一、世界第三大河流，长江水质的污染程度日趋严重，已引起了相关政府部门和专家们的高度重视。2004年10月，由全国政协与中国发展研究院联合组成“保护长江万里行”考察团，从长江上游宜宾到下游上海，对沿线21个重点城市做了实地考察，揭示了一幅长江污染的真实画面，其污染程度让人触目惊心。为此，专家们提出“若不及时拯救，长江生态10年内将濒临崩溃”，并发出了“拿什么拯救癌变长江”的呼唤。
本案例采用时间序列分析方法，来预测未来十年内长江水质的污染情况。
案例6：基于数据拟合与BP预测的输电阻塞管理问题
电力从生产到使用的四大环节——发电、输电、配电和用电是瞬间完成的。我国电力市场初期是发电侧电力市场，采取交易与调度一体化的模式。电网公司在组织交易、调度和配送时，必须遵循电网“安全第一”的原则，同时要制订一个电力市场交易规则，按照购电费用最小的经济目标来运作。本案例以2004年B题电力市场的输电阻塞管理为背景，分别使用数据拟合与BP神经网络预测的方法，对电网负荷及输电阻塞问题进行预报，然后建立非线性规划模型，求解最有的电力分配方案。
第二部分 评价问题
案例7：基于层次分析法的高考志愿选择策略
一年一度的高考结束后，许多考生面临估分后填写志愿的决策过程。这个决策关系重大，请你建立一个数学模型，帮考生考虑到各种决策因素使之能轻松应对这一重大决策。
假设每个考生可填写四个志愿。现有北京甲、上海乙、成都丙、重庆丁四所大学。
考生通过网上信息初步考虑因素重要性主观数据如下表
相关权数 北京甲 上海乙 成都丙 重庆丁
校誉 名校自豪感 0.22 0.75 0.7 0.65 0.6
录取风险 0.198 0.7 0.6 0.4 0.3
年奖学金 0.024 0.6 0.8 0.3 0.7
就业前景 0.133 0.8 0.7 0.85 0.5
生活环境 离家近 0.061 0.2 0.4 1 0.8
生活费用 0.064 0.7 0.3 0.9 0.8
气候环境 0.032 0.5 0.6 0.8 0.6
学习环境 专业兴趣 0.132 0.4 0.3 0.6 0.8
师资水平 0.034 0.7 0.9 0.7 0.65
可持续发展 硕士点 0.064 0.9 0.8 0.75 0.8
博士点 0.030 0.75 0.7 0.6 0.5
本案例采用层次分析法进行建模计算，给出志
愿排序的合理决策。
案例8：基于熵原理和模糊数学的高校毕业生就业问题的研究
2003年，是我国各高校自扩招以来本科学生毕业的第一年，在这一年里，高校毕业生就业遭遇了历史上最严峻的形势，其问题难度之大，牵涉面之广、受各界关注之深，为历史上少有。继2003年之后，本年度，即2007年毕业生人数再创新高：全国普通高校毕业生将达到495万，比2006年增加82万；为缓解大
学生就业压力，政府及社会各方面集中推出各种促进就业的活动，并将2007年作为高校毕业生就业工作的全面服务年。
本文在对毕业生就业问题调查研究的基础上，综合得出影响毕业生就业的一系列指标，根据这些数据，我们进行分析研究，判断影响毕业生就业的主要因素是什么，并对相关因素进行排序。本案例以第四届苏北数学建模竞赛A题为背景，运用熵权法确定各项影响毕业生就业主要因素的权值，从而根据权重大小对各指标的重要性进行排序。本文运用模糊评价的方法对毕业生的就业情况予以评价。
案例9：基于模糊数学方法的公务员招聘问题
我国公务员制度已实施多年，1993年10月1日颁布施行的《国家公务员暂行条例》规定：“国家行政机关录用担任主任科员以下的非领导职务的国家公务员，采用公开考试、严格考核的办法，按照德才兼备的标准择优录用”。目前, 我国招聘公务员的程序一般分三步进行：公开考试（笔试）、面试考核、择优录取。
现有某市直属单位因工作需要，拟向社会公开招聘8名公务员。该单位拟将录用的8名公务员安排到所属的7个部门，并且要求每个部门至少安排一名公务员。这7个部门按工作性质可分为四类：(1)行政管理、 (2)技术管理、(3)行政执法、(4)公共事业。
招聘领导小组在确定录用名单的过程中，本着公平、公开的原则，同时考虑录用人员的合理分配和使用，有利于发挥个人的特长和能力。招聘领导小组将7个用人单位的基本情况（包括福利待遇、工作条件、劳动强度、晋升机会和学习深造机会等）和四类工作对聘用公务员的具体条件的希望达到的要求都向所有应聘人员公布。每一位参加面试人员都可以申报两个自己的工作类别志愿。
本案例采用模糊数学方法，解决公务员的招聘问题。
案例10：基于综合评价方法的长江水质的评价模型
水是人类赖以生存的资源，保护水资源就是保护我们自己，对于我国大江大河水资源的保护和治理应是重中之重。专家们呼吁：“以人为本，建设文明和谐社会，改善人与自然的环境，减少污染。”
长江是我国第一、世界第三大河流，长江水质的污染程度日
趋严重，已引起了相关政府部门和专家们的高度重视。2004年10月，由全国政协与中国发展研究院联合组成“保护长江万里行”考察团，从长江上游宜宾到下游上海，对沿线21个重点城市做了实地考察，揭示了一幅长江污染的真实画面，其污染程度让人触目惊心。本案例以全国赛2005年A题为背景，建立数学模型，并依据附件中数据对长江近两年多（03~05）的水质情况做出定量的综合评价。
案例11：基于线性回归的长江水质的评价和预测模型
长江水质的评价和预测是05年A题，依据近两年17个观测点的数据对相应地区的水质情况做定量综合评价与分析，然后一句这些地点的相对地理位置、水流量和水质数据，利用简化的一维水质模型推算出相应的排污量，从而确定出长江干流的主要污染源所在的区段，最后根据长江过去10年的总体水质检测分类数据，利用回归分析，对未来长江水质发展趋势进行预测，并对可能控制水质的条件进行研究。
案例12：基于主成分分析的长江水质的评价和预测模型
运用主成分分析法对长江流域主要城市水质检测报告进行分析，选取主成分，并把主成分得分按方差贡献率加权求和，得出每个地区的污染综合评价指数，进而可以计算每个月长江流域的污染综合评价指数。
第三部分 优化问题
案例13：基于线性规划求解飞行管理模型
本案例以全国赛1995年A题(一个飞行管理模型)为例，详细阐述了线性模型的建立和用MATLAB优化工具箱求解线性规划。飞机进入某个飞行区域时以及在飞行过程中，必须保证与其他飞机保持一定的距离，否则就会出现飞行事故。本案例通过充分利用已知条件和有效的简化，将一个非线性规划问题转化为线性规划问题，求解更加方便快捷。
案例14：基于整数线性规划的货运公司的运输问题
某地区有8个公司（如图一编号①至⑧），某天某货运公司要派车将各公司所需的三种原材料A,B,C从某港口（编号⑨）分别运往各个公司。路线是唯一的双向道路。货运公司现有一种载重 6吨的运输车，派车有固定成本20元/辆，从港口出车有固定成本为10元/车次（车辆每出动一次为一车次）。每辆车平均需要用15分钟的时间装车，到每个公司卸车时间平均为10分钟，运输车平均速度为60公里／小时（不考虑塞车现象），每日工作不超过8小时。运输车载重运费1.8元/吨公里，运输车空载费用0.4元/公里。一个单位的原材料A,B,C分别毛重4吨、3吨、1吨，原材料不能拆分，为了安全，大小件同车时必须小件在上，大件在下。卸货时必须先卸小件，而且不允许卸下来的材料再装上车，另外必须要满足各公
司当天的需求量。
本案例运用整数线性规划方法，实现最优的货运公司的车辆调度问题。
案例15：基于TSP的最佳灾情巡视路线
TSP (旅行商问题—Traveling Salesman Problem)，是典型的NP完全问题，有n个城市，一个推销员要从其中某一个城市出发，唯一走遍所有的城市，再回到他出发的城市，求最短的路线。灾情巡视路线是98年B题，准确地说我们是无法到最优巡视路线，因此在它的子图中寻局部最优巡视路线。首先建
立一个基本模型能在一个点相对较少的网络图中寻最优推销员的回路，然后对整个网络图进行分区，在各区内用基本模型的近似解法寻较优路线，最后将各区的巡视路线综合起来得到整个网络图较优分组巡视路线。
案例16：基于动态规划方法求解背包问题
背包问题(Knapsack problem)是一种组合优化的NP完全问题。问题可以描述为：给定一组物品，每种物品都有自己的重量和价格，在限定的总重量内，我们如何选择，才能使得物品的总价格最高。问题名称来源于如何选择最合适的物品放置于给定背包中，通过递推关系式和边界条件逐步寻优。
案例17：基于最短路的逢山开路模型
逢山开路是94年A题，题中给出了实际的基本特征，如地貌、路线、环境等自然条件以及费用系数，重点是求两点间的最短路，由于要在河流上架桥和开挖隧道，先根据对地形和不同路段费用系数的分析，确定桥头和隧道口的若干候选地点，然后寻求山脚到桥，桥到隧道，隧道到矿区的最短路，也是最小费用路径，最后在综合考虑修桥和隧道的费用，从而得出全局最小费用路线。
案例18：基于Dijkstra最短路径的网络路由算法
最短路径问题是图论中十分重要的最优化问题之一，它作为一个经常被用到的基本工具，可以解决生产
实际中的许多问题。当权值非负时，Dijkstra算法是目前公认的寻求最短路问题最好的算法。在计算机网络中，路由的选择对数据的传输及服务质量的保证至关重要。本案例将网络时延等、吞吐量参数归入链路的权值，用Dijkstra最短路径算法求解端到端的路由选择。该模型综合考虑了多种网络因素，
matlab拟合数据案例19：基于连续型hopfield神经网络的TSP问题
旅行商问题（Traveling Salesman Problem）是指：有n个城市，一个推销员要从其中某一个城市出发，所有的城市必须经过且只经过一次，最后回到他出发的城市，求最短的路线。这一个多局部最优的最优化问题，俗称NP难问题，一般的方法很难求解。Hopfield神经网络是一种回馈式神经网络，且可将优化目标与能量函数相结合，从何精确地计算出TSP问题的最优解。
案例20

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