伽罗瓦域GF(2^128)乘法器的设计
2011年1月22日
摘要
伽罗瓦域GF(2^128)乘法器是Ghash算法(一种用于加解密系统散列算法)的核心部件，其速度与硬件开销决定着整个Ghash模块的整体性能。本文通过Arash Reyhani-Masoleh 提出的一种算法，进行分析设计，然后用Verilog编程进行仿真，最后用Synplify 进行综合。最后，通过与一些其他的乘法器实现方法相比较，可以知道，本文提供的伽罗瓦域乘法的算法比较简单易懂，依现在的硬件来看也是很容易实现。
关键词
乘法器，伽罗瓦域，系统优化，Verilog语言，综合，Model Sim，Xilinx ISE，仿真
Abstract
A finite filed multiplier architecture is the central part of the Ghash Algorithm (an algorithm for an outstanding encryption system), whose speed and cost determine the property of the whole Ghash module. In this paper, we use the Verilog language to implement the GF(2^128) multiplier with the algorithm proposed by  Arash Reyhani-Masoleh. Then, we use the Model Sim for simulation and Synplify for Synthesis. And, through the comparison between several other ways to implement this multiplier, we can draw the conclusion that our way is quite easy to understand and it’s won’t occupy too much hardware resources.
Keyword
Multiplier, Finite Yield, Galois Field, Arash Reyhani-Masoleh, Verilog, Simulation, System Optimization, GF(2^128)，Model Sim，Xilinx ISE
1 题目
1.1 内容
伽罗瓦域GF(2^128)乘法器是Ghash算法(一种用于加解密系统散列算法)的核心部件，其速度
与硬件开销决定着整个Ghash模块的整体性能。本题目的最终目的是：完成伽罗瓦域GF(2^128)乘法器的设计。
1.2 设计要求
1）用verilog语言进行编程，语法要符合可综合设计的要求；
2）用modelsim完成系统功能仿真；
3）用synplify 或ISE进行综合；
4）完成设计报告。（设计报告中要对现有的几种伽罗瓦域GF(2^128)乘法器c语言二维数组转置实现方法进行比较，分析优劣）
2 背景介绍
2.1 伽罗瓦域
    有限域（或伽罗华域）包含有限个元素，并定义了两种操作——加法与乘法，这两种操作都是针对二元的操作。GF（2）是最小的有限域，它只含有两个域元素——0和1。加法和乘法都进行模2操作，因此加法等效与逻辑异或，而乘法等效于逻辑与。有限域可以用非可约多项式来定义，令GF（2m）是的根，即。则称为多项式基或标准基，GF（2m）中的每个元素都可以根据多项式基来表示。比如，对于,，可以表示为，其中即为基下的坐标。假设，，则。
2.2  GCM加密解密
2.2.1 加密
令n和u表示一对特殊的非负整数，因此，明文的总位数为：（n－1）128+u,1≤u≤128.明文包括n个位字符串，最后一个字符串的位数是u位，其他字符串都是128位。这些字符串分别表示为：P1，P2,……，Pn-1,P+n,,我们称这些位字符串为数据块，即使最后一个位字符串可能不是一个完整的数据块。类似的，密文分别表示为：C1,C2,……，Cn-1，C+n,最后一块数据块 C+n的位数为u。冗余验证数据A分别表示为A1,A2,……，Am-1,A+m，最后一个位字符串A+m可能不是整块且长度为v,m和v表示一对特殊的非负整数，因此A的总位数为：（m－1）128+v,1≤v≤128。
验证加密操作定义如下：
连续计数值由函数incr()产生。把该函数变量值最右边32位当做非负整数，并且最低有效位在右边，加法操作主要是针对这最右边的32位。准确地说，incr(F||I)的值为F||I+1 mod 232）。

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