幂函数与二次函数讲义
一、知识梳理
1．幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．
(2)常见的5种幂函数的图象
(3)常见的5种幂函数的性质
函数 特征 性质 | y＝x | y＝x2 | y＝x3 | y＝ | y＝x－1 |
定义域 | R | R | R | [0，＋∞) | {x|x∈R，且x≠0} |
值域 | R | [0，＋∞) | R | [0，＋∞) | {y|y∈R，且y≠0} |
奇偶性 | 奇 | 偶 | 奇 | 非奇非偶 | 奇 |
2.二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式：
一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)．
零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．
(2)二次函数的图象和性质
解析式 | f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) | f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) |
图象 | ||
定义域 | ||
值域 | ||
单调性 | ||
对称性 | 函数的图象关于x＝－对称 | |
注意：1．幂函数的图象和性质
(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性．
(2)幂函数的图象过定点(1,1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．
(3)当α＞0时，y＝xα在[0，＋∞)上为增函数；
当α＜0时，y＝xα在(0，＋∞)上为减函数．
2．若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当时恒有f(x)>0，当时，恒有f幂函数定义(x)<0.
二、基础检验
题组一：思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是.( )
(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R不可能是偶函数．( )
(3)在y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．( )
(4)函数y＝2是幂函数．( )
(5)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．( )
(6)当n<0时，幂函数y＝xn是定义域上的减函数．( )
题组二：教材改编
2．已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，则k＋α等于( )
A. B．1 C. D．2
3．已知函数f(x)＝x2＋4ax在区间(－∞，6)内单调递减，则a的取值范围是( )
A．a≥3 B．a≤3
C．a＜－3 D．a≤－3
题组三：易错自纠
4．幂函数f(x)＝(a∈Z)为偶函数，且f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，则a等于( )
A．3 B．4 C．5 D．6
5．已知函数y＝ax2＋bx＋c，如果a>b>c且a＋b＋c＝0，则它的图象可能是( )
6．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围为_____．
三、典型例题
题型一：幂函数的图象和性质
1．幂函数y＝f(x)经过点(3，)，则f(x)是( )
A．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数
C．奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数 D．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
2．若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是( )
A．d＞c＞b＞a B．a＞b＞c＞d
C．d＞c＞a＞b D．a＞b＞d＞c
3．若>，则实数m的取值范围是
思维升华：(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．
(2)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴．
(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．
题型二：二次函数的解析式
典例 (1)已知二次函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(0)＝3，对∀x∈R，都有f(1＋x)＝f(1－x)成立，则f(x)的解析式为________________．
(2)已知二次函数f(x)与x轴的两个交点坐标为(0,0)和(－2,0)且有最小值－1，则f(x)＝________.
思维升华：求二次函数解析式的方法
跟踪训练 (1)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R，a≠0)，x∈R，若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，则f(x)＝________.
(2)若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(a，b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝________.
题型三：二次函数的图象和性质
命题点1：二次函数的图象
典例：对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)与二次函数y＝(a－1)x2－x在同一坐标系内的图象可能是( )
命题点2：二次函数的单调性
典例 函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a的取值范围是
引申探究
若函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1的单调减区间是[－1，＋∞)，则a＝________.
命题点3：二次函数的最值
典例 已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－1,2]上有最大值4，求实数a的值．
引申探究
将本例改为：求函数f(x)＝x2＋2ax＋1在区间[－1,2]上的最大值．
命题点4：二次函数中的恒成立问题
典例 (1)已知函数f(x)＝x2－x＋1，在区间[－1,1]上，不等式f(x)>2x＋m恒成立，则实数m的取值范围是____．
(2)已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3在x∈[－1,1]上恒小于零，则实数a的取值范围为________．
思维升华：解决二次函数图象与性质问题时要注意：
(1)抛物线的开口，对称轴位置，定义区间三者相互制约，要注意分类讨论；
(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，
再“定量”(看图求解)．
(3)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键
解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．两种思路都是将问题归结为求函数的最值或值域．
跟踪训练 (1)设abc＞0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是( )
(2)已知函数f(x)＝x2－2ax＋2a＋4的定义域为R，值域为[1，＋∞)，则a的值为________．
(3)设函数f(x)＝ax2－2x＋2，对于满足1<x<4的一切x值都有f(x)>0，则实数a的取值范围为________．
四、反馈练习
1．幂函数y＝(m∈Z)的图象如图所示，则m的值为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
2．若幂函数f(x)＝(m2－4m＋4)·在(0，＋∞)上为增函数，则m的值为( )
A．1或3 B．1 C．3 D．2
3．若命题“ax2－2ax＋3＞0恒成立”是假命题，则实数a的取值范围是( )
A．a＜0或a≥3 B．a≤0或a≥3
C．a＜0或a＞3 D．0＜a＜3
4．已知二次函数f(x)＝2ax2－ax＋1(a<0)，若x1<x2，x1＋x2＝0，则f(x1)与f(x2)的大小关系为( )
A．f(x1)＝f(x2) B．f(x1)>f(x2)
C．f(x1)<f(x2) D．与a值有关
5．若关于x的不等式x2－4x－2－a＞0在区间(1,4)内有解，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－2) B．(－2，＋∞)
C．(－6，＋∞) D．(－∞，－6)
6．已知幂函数f(x)＝xα，当x>1时，恒有f(x)<x，则α的取值范围是____________．
7．若函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为，则m的取值范围是__________．
8．若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是________．
9．已知y＝f(x)是偶函数，当x>0时，f(x)＝(x－1)2，若当x∈时，n≤f(x)≤m恒成立，则m－n的最小值为________．
10．已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3.
(1)当a＝2，x∈[－2,3]时，求函数f(x)的值域；
(2)若函数f(x)在[－1,3]上的最大值为1，求实数a的值．
11．已知在(－∞，1]上递减的函数f(x)＝x2－2tx＋1，且对任意的x1，x2∈[0，t＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤2，则实数t的取值范围为( )
A．[－，] B．[1，]
C．[2,3] D．[1,2]
12．当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则m的取值范围是________．
13．若函数f(x)＝x2－a|x－1|在[0，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是________．
14．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示，请根据图象：
(1)写出函数f(x)(x∈R)的增区间；
(2)写出函数f(x)(x∈R)的解析式；
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