高中数学专题训练二次函数与幂函数
一、选择题
1．“a＝1”是“函数f(x)＝x2－2ax＋3在区间[1，＋∞)上为增函数”的(  )
A．充分不必要条件    　B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象大致是(  )
3．函数y＝xα(x≥1)的图象如图所示，α满足条件(  )
A．α<－1B．－1<α<0C．0<α<1D．α>1
4．若函数f(x)＝ax2＋bx＋c满足f(4)＝f(1)，那么(  )
A．f(2)>f(3)
B．f(3)>f(2)
C．f(3)＝f(2)
D．f(3)与f(2)的大小关系不确定
5．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是(  )
A．[1，＋∞)B．[0,2]C．[1,2]D．(－∞，2]
6．(2010·安徽卷)设abc＞0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是(  )
7．已知f(x)＝ax2＋2ax＋4(0<a<3)，若x1<x2，x1＋x2＝1－a，则(  )
A．f(x1)>f(x2)
B．f(x1)<f(x2)
C．f(x1)＝f(x2)
D．f(x1)与f(x2)的大小不能确定
二、填空题
8．已知y＝(cosx－a)2－1，当cosx＝－1时y取最大值，当cosx＝a时，y取最小值，则a的范围是________．
9．抛物线y＝8x2－(m－1)x＋m－7的顶点在x轴上，则m＝________.
10．设函数f1(x)＝x，f2(x)＝x－1，f3(x)＝x2，则f1(f2(f3(2010)))＝________.
11．在函数f(x)＝ax2＋bx＋c中，若a，b，c成等比数列且f(0)＝－4，则f(x)有最________值(填“大”或“小”)，且该值为________．
12．已知幂函数f(x)＝x在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，那么最小的正整数a＝________.
13．方程x2－mx＋1＝0的两根为α，β，且α>0,1<β<2，则实数m的取值范围是________．
三、解答题
14．已知函数f(x)＝－xm，且f(4)＝－.
(1)求m的值；
(2)判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性，并给予证明．
15．已知对于任意实数x，二次函数f(x)＝x2－4ax＋2a＋12(a∈R)的值都是非负的，求函数g(a)＝(a＋1)(|a－1|＋2)的值域．
练习：
1．若函数f(x)＝log(x2－6x＋5)在(a，＋∞)上是减函数，则a的取值范围是(  )
A．(－∞，1]B．(3，＋∞)
C．(－∞，3)D．[5，＋∞)
2．设b>0，二次函数y＝ax2＋bx＋a2－1的图象为下列图象之一，则a的值为(  )
A．1B．－1
C.D.
3.
如图所示，是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，则|OA|·|OB|等于(  )
A.B．－
C．±D．无法确定
4．已知函数f(x)＝x2－2x＋2的定义域和值域均为[1，b]，则b＝(  )
A．3B．2或3
C．2D．1或2
5．函数y＝－x2－2ax(0≤x≤1)的最大值是a2，则实数a的取值范围是(  )
A．0≤a≤1B．0≤a≤2
C．－2≤a≤0D．－1≤a≤0
B组
1．若二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，f(0)＝1，则f(x)＝________.
2．若函数f(x)＝(a－1)x2＋(a2－1)x＋1是偶函数，则在区间[0，＋∞)上f(x)是(  )
A．减函数
B．增函数
C．常函数
D．可能是减函数，也可能是常函数
3．已知f(x)＝(x－a)(x－b)－2(a<b)，并且α、β是方程f(x)＝0的两个根(α<β)，则实数a、b、α、β的大小关系可能是(  )
A．α<a<b<βB．a<α<β<b
C．a<α<b<βD．α<a<β<b
4．设f(x)＝x2＋bx＋c，且f(－1)＝f(3)，则(  )
A．f(1)＞c＞f(－1)  B．f(1)＜c＜f(－1)
C．f(1)＞f(－1)＞cD．f(1)＜f(－1)＜c
5．对一切实数x，若不等式x4＋(a－1)x2＋1≥0恒成立，则a的取值范围是(  )
A．a≥－1B．a≥0
C．a≤3D．a≤1
6．若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c满足f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)等于________．
答案：一、1.A2C3C4C5C6D7B
8．解析　由题意知
∴0≤a≤1
9．　9或2510．　11．　大　－3
12．　313．　2<m<
三、解答题
14　(1)m＝1　(2)递减
练习；1．　D2.　B3．　B4C5D
B组1．　x2－x＋1
2D3A4B5A
详析
1．　A
解析　本题为二次函数的单调性问题，取决于对称轴的位置，若函数f(x)＝x2－2ax＋3在区间[1，＋∞)上为增函数，则有对称轴x＝a≤1，故“a＝1”是“函数f(x)＝x2－2ax＋3在区间[1，＋∞)上为增函数”的充分不必要条件．
2．　C
解析　若a>0，A不符合条件，若a<0，D不符合条件，若b>0，对B，∴对称轴－<0，不符合，∴选C.
3．　C
解析　类比函数y＝x即可．
4．　C
解析　∵f(4)＝f(1)
∴对称轴为，∴f(2)＝f(3)．
5．　C
解析　由函数的单调性和对称轴知，1≤m≤2，选C.
6．　D
解析　若a＞0，b＜0，c＜0，则对称轴x＝－＞0，函数f(x)的图象与y轴的交点(c,0)在x轴下方．故选D.
7．　B
解析　解法1：设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，∵＝∈(－1，)，又对称轴x＝－1，∴AB中点在对称轴右侧．∴f(x1)<f(x2)，故选B.(本方法充分运用了二次函数的对称性及问题的特殊性：对称轴已知)．
解法2：作差f(x1)－f(x2)＝(ax＋2ax1＋4)－(ax＋2ax2＋4)＝a(x1－x2)(x1＋x2＋2)＝a(x1－x2)(3－a)
又0<a<3，∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，故选B.
二、填空题
8．解析　由题意知
∴0≤a≤1
9．　9或25
解析　y＝82＋m－7－8·2
∵顶点在x轴∴m－7－8·2＝0，∴m＝9或25.
10．　
解析　f3(2010)＝20102　f2(20102)＝(20102)－1＝2010－2
f1(2010－2)＝(2010－2)＝2010－1＝.
11．　大　－3
解析　∵f(0)＝c＝－4，a，b，c成等比，∴b2＝a·c，∴a<0
∴f(x)有最大值，最大值为c－＝－3.
12．　3
13．　2<m<
解析　令f(x)＝x2－mx＋1
由题意知?2<m<.
三、解答题
14　(1)m＝1　(2)递减
解析　(1)∵f(4)＝－，
∴－4m＝－.∴m＝1.
(2)f(x)＝－x在(0，＋∞)上单调递减，证明如下：
任取0<x1<x2，则
f(x1)－f(x2)＝(－x1)－(－x2)
＝(x2－x1)(＋1)．
∵0<x1<x2，∴x2－x1>0，＋1>0.
∴f(x1)－f(x2)>0，∴f(x1)>f(x2)，
即f(x)＝－x在(0，＋∞)上单调递减．
15．　[－，9]
解　由条件知Δ≤0，即(－4a)2－4(2a＋12)≤0，
∴－≤a≤2.
①当－≤a<1时，
g(a)＝(a＋1)(－a＋3)＝－a2＋2a＋3＝－(a－1)2＋4，
∴由二次函数图象可知，
－≤g(a)<4.
②当1≤a≤2时，g(a)＝(a＋1)2，
∴当a＝1时，g(a)min＝4；
当a＝2时，g(a)max＝9；
∴4≤g(a)≤9.
综上所述，g(a)的值域为[－，9]．
练习；1．　D
解析　f(x)的减区间为(5，＋∞)，若f(x)在(a，＋∞)上是减函数，则a≥5，故选D.
2．　B
解析　∵b>0，∴不是前两个图形，
从后两个图形看－>0，∴a<0.
故应是第3个图形．
∵过原点，∴a2－1＝0.结合a<0.∴a＝－1.
3.　B
解析　∵|OA|·|OB|＝|OA·OB|＝|x1x2|＝||＝－(∵a<0，c>0)．
4．　C
解析　函数在[1，＋∞)上单增
∴b＝b2－2b＋2解之得：b＝2或1(舍)．
5．　D
解析　f(x)＝－x2－2ax＝－(x＋a)2＋a2
若f(x)在[0,1]上最大值是a2，
则0≤－a≤1，即－1≤a≤0，故选D.
B组1．　x2－x＋1
解析　设f(x)＝ax2＋bx＋c，∵f(0)＝1，∴c＝1，f(x＋1)－f(x)＝2ax＋a＋b＝2x
∴a＝1，b＝－1.
∴f(x)＝x2－x＋1.
2．　D
解析　函数f(x)是偶函数，∴a2－1＝0
当a＝1时，f(x)为常函数
当a＝－1时，f(x)＝－x2＋1在幂函数定义[0，＋∞)为减函数，选D.

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