学科教师辅导讲义
                          教学主任签字：               
学员编号：                    年    级：高一                    课时数：2课时
学员姓名：  张浩翔            辅导科目：数学                    学科教师：
授课日期及时段
2017年2月11日
教学目标
1、使学生理解和掌握幂函数的定义和性质以及函数的零点。
2、会用幂函数的性质和函数的零点解决简单的问题。
重点难点
会用幂函数的性质和函数的零点解决简单的问题
1、幂函数的定义
    一般地，函数y＝xα叫做幂函数．其中x是自变量，α是常数．
[化解疑难]
1．幂函数的特征
(1)以幂的底为自变量，指数为常数(高中阶段只学习指数为有理数的幂函数)；
(2)xα前的系数为1，且只有一项．
2．指数函数与幂函数的辨析
指数函数y＝ax(a>0，且a¡Ù1)的底数a为常数，指数为自变量；幂函数y＝xα(α∈R)以幂的底为自变量，指数α为常数.
：在同一坐标系中，试作出幂函数y＝x，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1的图象．
[化解疑难]
常见幂函数的图象与性质
解析式
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝
y＝x
图象
定义域
R
R
R
{x|x¡Ù0}
[0，＋¡Þ)
值域
R
[0，＋¡Þ)
R
{y|y¡Ù0}
[0，＋¡Þ)
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
奇函数
非奇非偶函数
单调性
在(－¡Þ，＋¡Þ)上单调递增
在(－¡Þ，0]上单调递减，在(0，＋¡Þ)上单调递增
在(－¡Þ，＋¡Þ)上单调递增
在(－¡Þ，0)上单调递减，在(0，＋¡Þ)上单调递减
在[0，＋¡Þ)上单调递增
定点
(1,1)
[化解疑难]
幂函数的性质归纳
(1)所有的幂函数在区间(0，＋¡Þ)上都有定义，并且图象都过点(1,1)．
(2)α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋¡Þ)上是增函数．
特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；
当0<α<1时，幂函数的图象上凸．
(3)α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋¡Þ)上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴；当x趋于＋¡Þ时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴．
  [例1]　(1)下列函数：①y＝x3；②y＝x；③y＝4x2；④y＝x5＋1；⑤y＝(x－1)2；⑥y＝x；⑦y＝ax(a>1)．其中幂函数的个数为(  )
A．1            B．2
C．3      D．4
(2)已知幂函数y＝(m2－m－1)xm2－2m－3，求此幂函数的解析式，并指出定义域．
(1)[解析]　②⑦为指数函数，③中系数不是1，④中解析式为多项式，⑤中底数不是自变量本身，所以只有①⑥是幂函数，故选B.
[答案]　B
(2)[解]　∵y＝(m2－m－1)xm2－2m－3为幂函数，
∴m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1.
当m＝2时，m2－2m－3＝－3，则y＝x－3，且有x¡Ù0；
当m＝－1时，m2－2m－3＝0，则y＝x0，且有x¡Ù0.
故所求幂函数的解析式为y＝x－3，(x¡Ù0)或y＝x0(x¡Ù0)．
[类题通法]
判断一个函数是否为幂函数的方法
判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.反之，若一个函数为幂函数，则该函数应具备这一形式，这是我们解决某些问题的隐含条件．
[活学活用]
函数f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3是幂函数，且当x∈(0，＋¡Þ)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式．
解：根据幂函数的定义得
m2－m－1＝1.解得m＝2或m＝－1.
当m＝2时，f(x)＝x3在(0，＋¡Þ)上是增函数；
当m＝－1时，f(x)＝x－3在(0，＋¡Þ)上是减函数，不符合要求．
故f(x)＝x3.
[例2]　(1)如图，图中曲线是幂函数y＝xα在第一象限的大致图象，已知α取－2，－，，2四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的α的值依次为(  )
A．－2，－，，2    　    B．2，，－，－2
C．－，－2,2，      D．2，，－2，－
(2)如图是幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象，则(  )
A．－1<n<0<m<1
B．n<－1,0<m<1
C．－1<n<0，m>1
D．n<－1，m>1
[解析]　(1)令x＝2，则22>2>2－>2－2，
故相应于曲线C1，C2，C3，C4的α值依次为2，，－，－2.故选B.
(2)此类题有一简捷的解决办法，在(0,1)内取x0，作直线x＝x0，与各图象有交点，则¡°点低指数大¡±．如图，0<m<1，n<－1.
[答案]　(1)B　(2)B
[类题通法]
解决幂函数图象问题应把握的两个原则
(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0,1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在(1，＋¡Þ)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高)．
(2)依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y＝x－1或y＝x或y＝x3)来判断．
[活学活用]
已知函数y＝xa，y＝xb，y＝xc的图象如图所示，则a，b，c的大小关系为(  )
A．c<b<a      B．a<b<c
C．b<c<a      D．c<a<b
解析：选A　由幂函数的图象特征知，c<0，a>0，b>0.
由幂函数的性质知，当x>1，幂指数大的幂函数的函数值就大，则a>b.综上所述，可知c<b<a.
[例3]　比较下列各组数中两个数的大小．
(1)0.5与0.5；
(2)－1与－1；
(3)与.
[解]　(1)∵幂函数y＝x0.5在(0，＋¡Þ)上是单调递增的，
又>，∴0.5>0.5.
(2)∵幂函数y＝x－1在(－¡Þ，0)上是单调递减的，
又－<－，∴－1>－1.
(3)∵函数y1＝x为R上的减函数，又>，
∴>.
又∵函数y2＝x在(0，＋¡Þ)上是增函数，且>，
∴>，∴>.
[类题通法]
比较幂值大小的方法
(1)若指数相同，底数不同，则考虑幂函数；
(2)若指数不同，底数相同，则考虑指数函数；
(3)若指数与底数都不同，则考虑插入中间数，使这个数的底数与所比较数的一个底数相同，指数与另一个数的指数相同，那么这个数就介于所比较的两数之间，进而比较大小．
 
[典例]　已知幂函数y＝xm2－2m－3(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋¡Þ)上是减函数，则满足(a＋1)－<(3－2a)－的a的取值范围为________．
[解析]　∵函数在(0，＋¡Þ)上单调递减，∴m2－2m－3<0，解得－1<m<3.∵m∈N*，∴m＝1,2.又∵函数图象关于y轴对称，∴m2－2m－3是偶数．又∵22－2¡Á2－3＝－3为奇数，12－2¡Á1－3＝－4为偶数，∴m＝1.
又∵y＝x－在(－¡Þ，0)，(0，＋¡Þ)上均为减函数，由(a＋1)－<(3－2a)－，得a＋1>3－2a>0或3－2a<a＋1<0或a＋1<0<3－2a.解得a<－1或<a<.
[答案]　(－¡Þ，－1)∪
[易错防范]
1．解决本题的关键是根据函数的奇偶性求出m的值后，依据幂函数的性质和图象建立关于a的不等式．在这里极易出现认为函数在(－¡Þ，0)和(0，＋¡Þ)上为减函数，则函数必在定义域内是减函数的认知误区，从而得出a＋1>3－2a，即a>的错误结论．
2．由f(x1)<f(x2)得x1与x2的大小关系时，如果f(x)的单调区间不止一个，那么需要对x1，x2的范围进行讨论．这时可借助函数y＝f(x)的图象，直观地进行分析，得出结果．
[活学活用]
若(3－2m)>(m＋1)，则实数m的取值范围为________．
解析：考察幂函数y＝x，因为y＝x在定义域[0，＋¡Þ)上是增函数，所以
解得－1¡Üm＜.
故m的取值范围为[－1，)
二、．函数的零点
对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
2．方程、函数、图象之间的关系
方程f(x)＝0有实根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．
[化解疑难]
函数零点的本质
(1)函数的零点的本质是方程f(x)＝0的实数根，因此，函数的零点不是点，而是一个实数．例如函数f(x)＝x＋1，当f(x)＝x＋1＝0时，仅有一个实数根x＝－1，所以函数f(x)＝x＋1有一个零点－1，由此可见函数f(x)＝x＋1的零点是一个实数－1，而不是一个点．
(2)函数是否有零点是针对方程是否有实数根而言的，若方程没有实数根，则函数没有零点．
函数f(x)＝x2－4x＋3图象如图．
函数零点的存在性定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0.那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
[化解疑难]
对函数零点存在性的探究
(1)并不是所有的函数都有零点，如函数y＝.
(2)当函数y＝f(x)同时满足：①函数的图象在[a，b]上是连续曲线；②f(a)·f(b)<0.则可判定函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，但是不能明确说明有几个．
(3)当函数y＝f(x)的图象在[a，b]上是连续的曲线，但是不满足f(a)·f(b)<0时，函数y＝f(x)在区间(a，b)内可能存在零点，也可能不存在零点．
[例1]　(1)判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．
(1)f(x)＝；(2)f(x)＝x2＋2x＋4；
(3)f(x)＝2x－3；(4)f(x)＝1－log3x.
[解]　(1)令＝0，解得x＝－3，所以函数f(x)＝的零点是x＝－3.
(2)令x2＋2x＋4＝0，由于Δ＝22－4¡Á1¡Á4＝－12<0，
所以方程x2＋2x＋4＝0无实数根，
所以函数f(x)＝x2＋2x＋4不存在零点．
(3)令2x－3＝0，解得x＝log23.
所以函数f(x)＝2x－3的零点是x＝log23.
(4)令1－log3x＝0，解得x＝3，
所以函数f(x)＝1－log3x的零点是x＝3.
[类题通法]
函数零点的求法
求函数f(x)的零点时，通常转化为解方程f(x)＝0，若方程f(x)＝0有实数根，则函数f(x)存在零点，该方程的根就是函数f(x)的零点；否则，函数f(x)不存在零点．
[活学活用]
判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．
(1)f(x)＝－x2－4x－4；
(2)f(x)＝；
(3)f(x)＝4x＋5；
(4)f(x)＝log3(x＋1)．
[例2]　(1)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表：
x
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
y
6
m
－4
－6
－6
－4
n
6
不求a，b，c的值，判断方程ax2＋bx＋c＝0的两根所在的区间是(  )
A．(－3，－1)和(2,4)
B．(－3，－1)和(－1,1)
C．(－1,1)和(1,2)
D．(－¡Þ，－3)和(4，＋¡Þ)
(2)函数f(x)＝lg x－的零点所在的大致区间是(  )
A．(6,7)            B．(7,8)
C．(8,9)      D．(9,10)
[解析]　(1)利用f(a)f(b)<0，则f(x)＝0在(a，b)内有根来判定．∵f(－3)＝6>0，f(－1)＝－4<0，∴在(－3，－1)内必有根，又由f(2)＝－4<0，f(4)＝6>0，
∴在(2,4)内必有根．故选A.
(2)∵f(6)＝lg 6－＝lg 6－<0，f(7)＝lg 7－<0，
f(8)＝lg 8－<0，f(9)＝lg 9－1<0，f(10)＝lg 10－>0，
∴f(9)·f(10)<0.
∴f(x)＝lg x－的零点的大致区间为(9,10)．
[答案]　(1)A　(2)D
[类题通法]
确定函数零点所在区间的方法
确定函数的零点、方程的根所在的区间时，通常利用零点存在性定理，转化为判断区间两端点对应的函数值的符号是否相反．
[例3]　(1)函数f(x)＝ln x－的零点的个数是(  )
A．0      B．1
C．2      D．3
(2)判断函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零点个数．
(1)在同一坐标系中画出y＝ln x与y＝的图象，如图所示，函数y＝ln x与y＝的图象有两个交点，所以函数f(x)＝ln x－的零点个数为2.
[答案]　C
(2)[解]　法一：∵f(0)＝1＋0－2＝－1<0，
f(2)＝4＋lg 3－2>0，
∴f(x)在(0,2)上必定存在零点，
又f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(0，＋¡Þ)上为增函数，
故f(x)有且只有一个零点．
法二：在同一坐标系下作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)的草图．由图象知g(x)＝幂函数定义lg(x＋1)的图象和h(x)＝2－2x的图象有且只有一个交点，
即f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2有且只有一个零点．
[类题通法]
判断函数零点个数的方法
判断函数零点的个数主要有以下几种方法：
法一：直接求出函数的零点进行判断；
法二：结合函数图象进行判断；
法三：借助函数的单调性进行判断．若函数f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且在区间(a，b)上单调，满足f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在区间(a，b)上有且仅有一个零点，如图所示．
[活学活用]
判断函数f(x)＝x－3＋ln x的零点个数．
解：法一：令f(x)＝x－3＋ln x＝0，
则ln x＝3－x，
在同一平面直角坐标系内画出函数y＝ln x与y＝－x＋3的图象，
如图所示：
由图可知函数y＝ln x，y＝－x＋3的图象只有一个交点，即函数f(x)＝x－3＋ln x只有一个零点．
法二：因为f(3)＝ln 3>0，
f(2)＝－1＋ln 2＝ln<0，
所以f(3)·f(2)<0，说明函数f(x)＝x－3＋ln x在区间(2,3)内有零点．
又f(x)＝x－3＋ln x在(0，＋¡Þ)上是增函数，所以原函数只有一个零点．
[典例]　函数f(x)＝x＋的零点个数为(  )
A．0            B．1
C．2      D．3
[解析]　函数f(x)的定义域为{x|x¡Ù0}，当x>0时，f(x)>0；当x<0时，f(x)<0，所以函数没有零点，故选A.
[答案]　A
－1，)
[随堂即时演练]
1．下列函数是幂函数的是(  )
A．y＝2x            B．y＝2x－1
C．y＝(x＋1)2      D．y＝
2．下列命题：
①幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)；
②幂函数的图象不可能在第四象限；
③n＝0，函数y＝xn的图象是一条直线；
④幂函数y＝xn当n>0时，是增函数；
⑤幂函数y＝xn当n<0时，在第一象限内函数值随x值的增大而减小．
正确的命题为(  )
A．①④      B．④⑤
C．②③      D．②⑤
3．已知幂函数f(x)的图象过点(4,2)，则f＝________.
4．函数f(x)＝(m2－m＋1)xm2＋2m－3是幂函数，且在x∈(0，＋¡Þ)时是减函数，则实数m＝________.
5．比较下列各题中两个幂的值的大小：
(1)1.1，0.9；(2)1.1－，0.9－；(3)3－，.
6．下列图象表示的函数中没有零点的是(  )
7．函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是(  )
A．(－2，－1)            B．(－1,0)
C．(0,1)      D．(1,2)
8．已知函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是________．
9．方程ln x＝8－2x的实数根x∈(k，k＋1)，k∈Z，则k＝________.
10．求函数f(x)＝log2x－x＋2的零点的个数．

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