幂函数的概念
例1、下列结论中，正确的是(  )
A．幂函数的图象都通过点(0,0)，(1,1)
B．幂函数的图象可以出现在第四象限
C．当幂指数α取1,3，时，幂函数y＝xα是增函数
D．当幂指数α＝－1时，幂函数y＝xα在定义域上是减函数
解析　当幂指数α＝－1时，幂函数y＝x－1的图象不通过原点，故选项A不正确；因为所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，且y＝xα (α∈R)，y>0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，故选项B不正确；而当α＝－1时，y＝x－1在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数，但它在定义域上不是减函数．
答案　C
例2、已知幂函数f(x)＝(t3－t＋1)x(7＋3t－2t2) (t∈Z)是偶函数且在(0，＋∞)上为增函数，数t的值．
分析　关于幂函数y＝xα (α∈R，α≠0)的奇偶性问题，设 (|p|、|q|互质)，当q为偶数时，p必为奇数，y＝x是非奇非偶函数；当q是奇数时，y＝x的奇偶性与p的值相对应．
解　∵f(x)是幂函数，∴t3－t＋1＝1，
∴t＝－1,1或0.
当t＝0时，f(x)＝x是奇函数；
当t＝－1时，f(x)＝x是偶函数；
当t＝1时，f(x)＝x是偶函数，且和都大于0，
在(0，＋∞)上为增函数．
故t＝1且f(x)＝x或t＝－1且f(x)＝x.
点评　如果题中有参数出现，一定要注意对参数的分类讨论，尤其对题中的条件t∈Z给予足够的重视．
例3、如图是幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限的图象，则(  )
A．-1<n<0<m<1  　B．n<－1,0<m<1  C．－1<n<0，m>1  D．n<－1，m>1
解析　在(0,1)取同一值x0，作直线x＝x0，与各图象有交点，则“点低指数大”．如图，0<m<1，n<－1.
答案　B
点评　在区间(0,1)上，幂函数的指数越大，图象越靠近x轴；在区间(1，＋∞)上，幂函数的指数越大，图象越远离x轴．
例4、已知x2>x，求x的取值围．
错解　由于x2≥0，x∈R，则由x2>x，可得x∈R.
错因分析　上述错解原因是没有掌握幂函数的图象特征，尤其是y＝xα在α>1和0<α<1两种情况下图象的分布．
正解　
作出函数y=x2和y=的图象(如右图所示)，易得x<0或x>1.
例5、函数f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式．
分析　解答本题可严格根据幂函数的定义形式列方程求出m，再由单调性确定m.
解　根据幂函数定义得
m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1，
当m＝2时，f(x)＝x3在(0，＋∞)上是增函数；
当m＝－1时，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求．故f(x)＝x3.
点评　幂函数y＝xα (α∈R)，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数α为常数(也可以为0)．这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准．对本例来说，还要根据单调性验根，以免增根．
变式 已知y＝(m2＋2m－2)x＋2n－3是幂函数，求m，n的值．
解　由题意得，
解得，
所以m＝－3，n＝.
例6、比较下列各组中两个数的大小：
  （1），；（2）0.71.5，0.61.5；（3），．
  解析：（1）考查幂函数y＝的单调性，在第一象限函数单调递增，
  ∵1.5＜1.7，∴＜，
  （2）考查幂函数y＝的单调性，同理0.71.5＞0.61.5．
  （3）先将负指数幂化为正指数幂可知它是偶函数，
  ∵＝，＝，又＞，  ∴＞．
  点评：比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是：
  （1）若能化为同指数，则用幂函数的单调性；
  （2）若能化为同底数，则用指数函数的单调性；
  （3）若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻一个恰当的数作为桥梁来比较大小．
例7、比较下列各组数的大小
(1) 3－与3.1－；(2)－8－与－.
分析　比较大小问题一般是利用函数的单调性，当不便利用单调性时，可用0与1去比较，这种方法叫“搭桥”法．
解　(1)函数y＝x－在(0，＋∞)上为减函数，
又3<3.1，所以3－>3.1－.
(2)－8－＝－，函数y＝x在(0，＋∞)上为增函数，又>，则>，
从而－8－<－.
点评　比较大小的题，要综合考虑函数的性质，特别是单调性的应用，更善于运用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的参数．
变式　比较下列各组数的大小：
(1)－与－；
(2)4.1，(－1.9)与3.8－.
解　(1)－＝－，－＝－，
∵函数y＝x－在(0，＋∞)上为减函数，又∵>，
∴－＝－<－＝－.
(2)(4.1)>1＝1,0<3.8－<1－＝1，(－1.9)<0，
所以(－1.9)<3.8－<(4.1).
例8、　已知幂函数y＝x3m－9幂函数定义 (m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上函数值随x的增大而减小，求满足(a＋1)－<(3－2a)－的a的围．
解　∵函数在(0，＋∞)上递减，
∴3m－9<0，解得m<3，
又m∈N*，∴m＝1,2.
又函数图象关于y轴对称，
∴3m－9为偶数，故m＝1，
∴有(a＋1)－<(3－2a)－.
又∵y＝x－在(－∞，0)，(0，＋∞)上均递减，
∴a＋1>3－2a>0或0>a＋1>3－2a
或a＋1<0<3－2a，
解得<a<或a<－1.
点评　(1)解决与幂函数有关的综合题时，一定要考虑幂函数的定义．(2)幂函数y＝xα，由于α的值不同，单调性和奇偶性也就不同．
变式　已知幂函数y＝xm2－2m－3 (m∈Z)的图象与x轴、y轴都无公共点，且关于y轴对称，求m的值，且画出它的图象．
解　由已知，得m2－2m－3≤0，∴－1≤m≤3.
又∵m∈Z，∴m＝－1,0,1,2,3，
当m＝0或m＝2时，y＝x－3为奇函数，其图象不关于y轴对称，不符合题意．
当m＝－1或m＝3时，有y＝x0，其图象如图①所示．
当m＝1时，y＝x－4，其图象如图②所示．
练习
一、选择题
1．下列命题：
①幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)；②幂函数的图象不可能在第四象限；
③n＝0时，y＝xn的图象是一条直线；④幂函数y＝xn，当n>0时，是增函数；
⑤幂函数y＝xn，当n<0时，在第一象限函数值随x值的增大而减小．
其中正确的是(  )
A．①和④  B．④和⑤  C．②和③  D．②和⑤
答案　D
2．下列函数中，不是幂函数的是(  )
A．y＝2x    B．y＝x－1      C．y＝    D．y＝x2
答案　A
3．设α∈，则使f(x)＝xα为奇函数且在(0，＋∞)单调递减的α值的个数是(  )
A．1  B．2  C．3  D．4
答案　A
4．当x∈(1，＋∞)时，下列函数图象恒在直线y＝x下方的偶函数是(  )

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