幂函数的解析式、定义域及值域同步练习题
一 选择题
1．幂函数y ＝f （x ）经过点（3，3），则f （x ）是（  ）
A ．偶函数，且在（0，+∞）上是增函数
B ．偶函数，且在（0，+∞）上是减函数
C ．奇函数，且在（0，+∞）是减函数
D ．非奇非偶函数，且在（0，+∞）上是增函数 2．当x ∈（0，+∞）时，幂函数y ＝（m 2-m-1）x ﹣5m ﹣3为减函数，则实数m 的值为（  ）
A ．m ＝2
B ．m ＝-1
C ．m ＝-1或m ＝2
D ．m ≠2
5
1±
3．若函数f （x ）是幂函数，且满足)2()4(f f ＝3，则f （2
1
）的值为（  ）
A ．﹣3
B ．﹣31
C ．3
D ．3
1
4．如果幂函数y ＝（m 2-3m+3）22
-
-m m x 的图象不过原点，则m 取值是（  ） A ．-1≤m ≤2 B ．m ＝1或m ＝2 C ．m ＝2 D ．m ＝1 5．函数f （x ）＝（m 2
-m-1）3
22-+m m x 是幂函数，其图象与两坐标轴都没有交点，则m ＝（  ）  A ．-1    B ．2    C ．3    D ．2或-1
6．幂函数f （x ）＝（m 2-6m+9）132
+-m m x 在（0，+∞）上单调递增，则m 的值为（  ） A ．2      B ．3      C ．4      D ．2或4 7．已知函数f(x)=（m 2-m-1）13
-m x 是幂函数，对任意的x 1，x 2∈（0，+∞）且x 1≠x 2，满足0)
()(2121 x x x f x f --，若a ，b ∈R ，a+b ＜0，则f （a ）+f （b ）的值（  ）
A ．恒大于0
B ．恒小于0
C ．等于0
D ．无法判断
8．函数f （x ）＝（m 2
-m-1）12
-+m m x 是幂函数，且在（0，+∞）上是减函数，则实数m 为（  ）  A ．1    B ．-1    C ．2    D ．-1或2
9．已知幂函数f(x)=(m-1)2
242
+-m m x 在（0，+∞）上单调递增，函数g （x ）＝2x -t ，∀x 1∈[1，6）时，总存在x 2∈[1，6）使得f （x 1）＝g （x 2），则t 的取值范围是（  ） A ．φ    B ．t ≥28或t ≤1      C ．t ＞28或t ＜1  D ．1≤t ≤28
10．若幂函数f(x)=(m 2-2m-2)32
++-m m x 在（0，+∞）上是减函数，则实数m 的值是（  ） A ．-1或3    B ．3      C ．-1      D ．0 11．若函数y=(m 2
-3m+3)4
22-+m m x 为幂函数，且在（0，+∞）单调递减，则实数m 的值为（  ）  A ．0    B ．1或2    C ．1    D ．2 12．已知幂函数y ＝x a 的图象经过点（2，4），则f （-3）＝（  ） A ．-9    B ．9    C ．3    D ．-3
13．函数f （x ）＝3a x-2+5（a ＞0且a ≠1）的图象恒过定点P ，点P 又在幂函数g （x ）的图象
上，则g （-2）的值为（  ）A ．-8    B ．-9    C ．81-    D ．9
1
-
14．有四个幂函数：①f （x ）＝x -1；②f （x ）＝x -2；③f （x ）＝x 3
；④f(x)=3
1x ．某同学研究
了其中的一个函数，他给出这个函数的三个性质：（1）偶函数；（2）值域是{y|y ∈R ，且y ≠0}；（3）在（-∞，0）上是增函数．如果他给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是（  ） A ．① B ．②  C ．③  D ．④
15．幂函数f （x ）＝（m 2-2m-2）22
-m x 在（0，+∞）上为增函数，则实数m 的值是（  ）  A ．-1  B ．3  C ．-1或3 D ．1或﹣3
二 多选题
16．若幂函数y ＝f （x ）的图象经过点（3，27），则幂函数f （x ）是（  ） A ．奇函数 B ．偶函数 C ．增函数 D ．减函数 17．若函数f （x ）＝（3m 2-10m+4）x m 是幂函数，则f （x ）一定（  ） A ．是偶函数 B ．是奇函数  C ．在x ∈（-∞，0）上单调递减 D ．在x ∈（-∞，0）上单调递增 18．已知幂函数f （x ）图像经过点（4，2），则下列命题正确的有（  ） A ．函数f （x ）为增函数      B ．函数f （x ）为偶函数
C ．若x ≥9，则f （x ）≥3
D ．若x 2＞x 1＞0，则)2
(2)()(2
121x x f x f x f ++
三 填空题
19．已知α∈{-2，-1，-21，2
1
，1，2，3}，若幂函数f （x ）＝x α为奇函数，且在（0，+∞）
上递减，则α＝    ．
20．已知幂函数y ＝f （x ）的图象过点（2，2），则f （9）＝    ．
21．幂函数f （x ）＝（m 2-3m+3）x m
的图象关于y 轴对称，则实数m ＝    ． 22．已知幂函数y ＝mx n （m ，n ∈R ）的图象经过点（4，2），则m ﹣n ＝    ． 23．已知幂函数y ＝f （x ）的图象经过点（2，2），则f （x ）＝    ． 24．已知幂函数f （x ）＝（m 2
-3m+1）1
42+-m m x
的图象不过原点，则实数m 的值为    ．
25．函数f （x ）＝2
1-
x
的定义域为      ．
26．已知幂函数y ＝f （x ）的图象过点(2，4
1
)，则f(31)＝    ．
27．已知幂函数f （x ）＝k •x a
的图象经过点（8，4），则k ﹣a 的值为    ．
28．已知函数f （x ）＝x a 的图象过点（2，2
2
），则f （x ）的定义域为    ．
29．已知幂函数y ＝（m 2-3m-3）x m 在（0，+∞）上单调递减，则m ＝    ． 30．已知幂函数y ＝f （x ）的图象过点（3，3），f （9）＝    ．
31．已知幂函数f （x ）＝（a 2-3a-3）x a 在（0，+∞）为增函数，则实数a 的值为      ． 四 解答题
32．已知幂函数f （x ）＝（m-1）2
2
42+-m m x 在（0，+∞）上单调递增，函数g （x ）＝2x -k ．（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）当x ∈[1，2]时，记f （x ），g （x ）的值域分别为集合A ，B ，设命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若命题p 是q 成立的必要条件，求实数k 的取值范围．
33．已知幂函数f （x ）＝（k 2+k-1）•)
1)(2(k k x +-在（0，+∞）上单调递增．（1）求实数k 的值，并写出相应的函数f （x ）的解析式；（2）对于（1）中的函数f （x ），试判断是否存在正数m ，使得函数g （x ）＝1-mf （x ）+（2m-1）x 在区间[0，1]上的最大值为5，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．
34．已知幂函数f （x ）＝（2m 2-6m+5）x m+1为偶函数．（1）求f （x ）的解析式；（2）若函数y ＝f （x ）-2（a-1）x+1在区间（2，3）上为单调函数，求实数a 的取值范围．
35．已知函数h （x ）＝（m 2-5m+1）x m+1为幂函数，且为奇函数．（1）求m 的值；（2）求函数
g(x)=h(x)+x 21-在x ∈〔-1,2
1
〕的值域．
36．已知幂函数f （x ）＝（m 2+4m-4）x m+1在区间（0，+∞）上单调递增．（1）求f （x ）的解
析式；（2）用定义法证明函数g(x)=f(x)+x
m )
3(4+在区间（0，2）上单调递减．
37．已知幂函数f （x ）＝（k 2-k-1）x k （k ∈R ），且在区间（0，+∞）内函数图象是上升的．（1）求实数k 的值；（2）若存在实数a ，b ，使得函数f （x ）在区间[a ，b]上的值域为[a ，b]，求实数a ，b 的值．
幂函数的解析式、定义域、值域同步练习题参考答案与解析
1.分析：设出幂函数的解析式，求出自变量的指数，从而求出函数的性质即可．
解：设幂函数的解析式为：y＝xα，将（3，）代入解析式得：3α＝，解得α＝，∴y
＝，故选：D．
2.分析：根据给出的函数为幂函数，由幂函数概念知m2﹣m﹣1＝1，再根据函数在（0，+∞）上为减函数，得到幂指数应该小于0，求得的m值应满足以上两条．
解：因为函数y＝（m2﹣m﹣1）x﹣5m﹣3既是幂函数又是（0，+∞）的减函数，所以解
得：m＝2．故选：A．
3.分析：设f（x）＝xα（α为常数），由满足＝3，可得α＝log
2
3.．代入即可得出．
解：设f（x）＝xα（α为常数），∵满足＝3，∴＝3，∴α＝log
2
3．∴．则f（）＝＝．故选：D．
4.分析：幂函数的图象不过原点，所以幂指数小于等于0，系数为1，建立不等式组，解之即可．
解：幂函数的图象不过原点，所以
，
解得m＝1或2，符合
题意．故选：B．
5.分析：根据幂函数的定义，求出m的值，代入判断即可．
解：∵函数f（x）＝（m2﹣m﹣1）x是幂函数，∴m2﹣m﹣1＝1，解得：m＝2或m＝﹣1，m＝2时，f（x）＝x5，有交点不合题意，m＝﹣1时，f（x）＝，其图象与两坐标轴都没有交点，符合题意，故m＝﹣1，故选：A．
6.分析：根据幂函数的定义与性质，列出不等式与方程，即可求出m的值．
解：由题意得：，解得，∴m＝4．故选：C．
7.分析：根据幂函数的定义求出m的值，再根据条件判断单调性，由得出结论．
解：∵已知函数是幂函数，∴m2﹣m﹣1＝1，∴m＝2，或 m＝﹣1，f
（x）＝x7，或 f（x）＝x﹣2．对任意的x
1，x
2
∈（0，+∞）且x
1
≠x
2
，满足，
故f（x）是增函数，∴f（x）＝x7．若a，b∈R，a+b＜0，即 a＜﹣b，∴a7＜（﹣b）7，即 a7＜﹣b7，即 a7+b7＜0．则f（a）+f（b）＝a7+b7＜0，故选：B．
8.分析：根据幂函数的系数一定为1可先确定参数m的值，再根据单调性进行排除，可得答案．解：∵函数y＝（m2﹣m﹣1）x m2+m﹣1是幂函数．∴可得m2﹣m﹣1＝1，解得m＝﹣1或2．当m ＝﹣1时，函数为y＝x﹣1在区间（0，+∞）上递减，满足题意，当m＝2时，函数为y＝x5在（0，+∞）上递增，不满足条件．故选：B．
9.分析：根据幂函数的定义以及函数的单调性求出f（x）的解析式，分别求出f（x），g（x）的值域，问题转化为[1，36）⊆[2﹣t，64﹣t），求出t的范围即可．
解：由f（x）是幂函数得：m＝0或2，而在（0，+∞）上单调递增，则f（x）＝x2，x∈[1，6）时，f（x）∈[1，36），x∈[1，6）时，g（x）∈[2﹣t，64﹣t），
若∀x
1∈[1，6）时，总存在x
2
∈[1，6）使得f（x
1
）＝g（x
2
），则[1，36）⊆[2﹣t，64﹣t），
故，解得：1≤t≤28，故选：D．
10.分析：由题意利用幂函数的定义和性质，求得m的值．
解：∵幂函数在（0，+∞）上是减函数，∴m2﹣2m﹣2＝1，且﹣m2+m+3＜0，求得m＝3，故选：B．
11.分析：利用幂函数的定义和性质列方程组，能求出m．
解：∵函数为幂函数，且在（0，+∞）单调递减，∴，
解得m＝1．故选：C．
12.分析：根据幂函数的图象过点（2，4）求出函数解析式，再计算所求的函数值．
解：因为幂函数y＝x a的图象过点（2，4），所以2a＝4，a＝2，y＝f（x）＝x2，所以f（﹣3）＝（﹣3）2＝9．故选：B．
13.分析：令指数等于零，求得x、y的值，可得指数型函数的图象经过定点的坐标，再用待定系数法求出幂函数g（x）的解析式，可得g（﹣2）的值．
解：∵f（x）＝3a x﹣2+5，令x﹣2＝0，得x＝2，∴f（2）＝3a0+5＝8，∴f（x）的图象恒过点P（2，8）．设g（x）＝xα，把P（2，8）代入得2a＝8，∴α＝3，∴g（x）＝x3，∴g（﹣2）＝（﹣2）3＝﹣8，故选：A．
14.分析：判断各个幂函数的奇偶性，值域以及单调性，即可得到结果．
解：对于①，f（x）＝x﹣1；是奇函数，不满足（1）偶函数；满足（2）值域是{y|y∈R，且y ≠0}；不满足（3）在（﹣∞，0）上是增函数．所以①不正确；对于②，f（x）＝x﹣2；具有性质（1）是偶函数；不具有性质（2）值域是{y|y∈R，且y≠0}．满足（3）在（﹣∞，0）上是增函数．所以②正确．对于③，f（x）＝x3；不具有性质（1）偶函数；也不具有性质（2）
值域是{y|y∈R，且y≠0}．所以不正确；对于④，；不具有性质（1）偶函数；也不具有性质（2）值域是{y|y∈R，且y≠0}．所以不正确；故选：B．
15.分析：由题意利用幂函数的定义和性质，可得 m2﹣2m﹣2＝1，且 m2﹣2＞0，由此求得m的值．
解：∵幂函数f（x）＝（m2﹣2m﹣2）x在（0，+∞）上为增函数，∴m2﹣2m﹣2＝1，且 m2﹣2＞0，求得m＝3，故选：B．
16.分析：先利用待定系数法求出幂函数f（x）的解析式，再利用函数奇偶性的定义和单调性的定义判断即可．
解：设幂函数f（x）＝xα（α为常数），∵幂函数y＝f（x）的图象经过点（3，27），∴3α＝27，∴α＝3，∴f（x）＝x3，∴函数f（x）在R单调递增，又f（﹣x）＝﹣x3＝﹣f（x），∴幂函数f（x）是奇函数，故选：AC．
17.分析：根据幂函数的定义，求出m的值，从而判断函数的单调性和奇偶性即可．
解：由题知3m2﹣10m+4＝1，解得m＝3或，所以f（x）＝x3或，由幂函数性质
知f（x）是奇函数且单调递增，故选：BD．
18.分析：利用待定系数法求出幂函数f（x）的解析式，再判断选项中的命题是否正确即可．解：设幂函数y＝f（x）＝xα，α为实数，其图像经过点（4，2），所以4α＝2，解得α＝，
幂函数定义所以f（x）＝，定义域为[0，+∞），f（x）为非奇非偶函数，B错误；且f（x）＝在

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