古老的计算工具
在任何社会，计算都是一种必不可少的活动。原始社会也不例外，当时人们的计算活动主要是计数。早期的计算工具，通常是容易得到的而且为数众多的实物，如小石子、竹片、树枝、玉米粒、贝壳之类。这种推测是有一定根据的。拉丁文(clculu)原来是小石子的意思，因为人们用小石子来计算，所以“计算”、“演算”也叫做(clculu)。
绳子也曾是人们的计算工具，人们用打结来记述事情。至今，在美国纽约的博物馆里，还珍藏着一件叫“基普”的文物。这是一段打了结的绳子，出土与秘鲁。是用来 记数和记事的工具。绳子的背后，有一段发生在战争年代的故事：传说公元前６世纪，波斯国王曾命令一支部队守桥，临走前交给守桥将士一条打了结的皮带，要他们每守一天解开一个结，一直守到皮带上的结全部解完为止。故事里，国王用绳结来告诉将士们守桥的天数，形象而具体。
除了结绳记数外，小石子也是一种常用的记数工具。早晨，牧童把羊赶出羊圈，让它们在草地里自由进食。每出来一头就往罐子里扔一块小石子，用小石子数来记录出来的羊的数目。太阳下山了，牧童归时，羊圈里每进一只羊，他就从罐子里拿出一块小石子。若是石子全部拿光了，那么羊全部进圈了；要是罐子里还剩下石子，说明有羊丢失了，这样人们可以立刻去寻。
　              最早的数学表
 在计算中，我们通常要查数学表：平方表、对数表、三角函数表……。查表可以大大简化计算。这些数学表也是在长期发展中积累起来的。
中国历史上最早的数学表，是“乘法九九表”。据说春秋时代霸主之齐桓公招聘贤才，但无人应聘。一天，有一个人前来求见，齐桓公说：“你有什么本领？”来者说：“我会九九歌。”齐桓公嘲笑他：“会背九九歌也算本领吗？”那人回答：“背九九歌确实算不上什么大本领，但是如果您对我也能以礼相待，还怕比我高明的贤士不来应聘吗？”齐桓公觉得有理，就款待了他，后来果然有很多贤才纷纷登门。
 
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                          乘法表
这里的九九歌，就是现代的乘法九九表。这个故事也说明，九九歌在我国很早就已经普遍被人掌握了。在我国敦煌等地出土的西汉竹简（竹简是我国古代人用来写字的竹片）上，都记载着不完整的“九九表”。例如，敦煌的汉简中的“九九表”共十六句，即是：
九九八十一  八八六十四  五七卅五  二三而六  八九七十二  七八五十六  四七廿八    五五廿五  二二而四  七九六十三  六八卌八  　三七廿一    四五廿十　  五八卌十　三五十五　
在古代的巴比伦，人们在靠近幼发拉底河的庙宇图书馆遗址，曾挖掘出大量的泥土板，上面用楔形方字刻着乘法表、加法表、平方表、倒数表和平方根表等。这些都是人类最古老的数学表，古巴比伦人就是用它们作为简化计算的工具。
今天，人们已经用先进的电子计算器才来代替数学表，但是这古老的数学表却永远铭记着数学发展的一段历史。
纳皮尔骨算筹
带有复杂计算的工作变得越来越乏味，特别是科学家们进行的天文计算，海员们在实际航海中所要解决的定位问题，以及商人们在让利时的考虑等等．然而，在17世纪，一位著名的苏格兰数学家J·纳皮尔(John Napier，1550--1617)，以他发明的对数引发了；场计算上的革命(一种用代表数的方法把进行乘法和除法的计算变换为加法和
减法的计算)．纳皮尔用对数和表来计算的方法，使得诸如乘、除、乘方、开方这类困难的计算，变得简单化起来．
虽然对数和指数函数的理论是数学的精髓部分，然而一旦现代电子计算器和计算机介入生活，对数表和它的使用就像过时的法律那样被废弃了．但对数表的发展及其快捷的计算法，曾在几个世纪内为数学家、会计师、航海家、天文学家和科学家们所广泛应用．
应用对数，纳皮尔还发明了一种算筹，称为纳皮尔骨算筹，它可以帮助商人们算账．商人们带一套象牙或木制的算筹，用来进行乘、除以及求平方根和立方根等运算．每根算筹都是它顶部数字的乘法表．例如要算298×7，先将2，9，8三根算筹依次摆成一线，然后从上往下数到第7行，则如图所示的两数和即为所求的积．　
规矩和直尺
古人云：“没有规矩，不成方圆。”可见在中国古代，就有了规和矩。我们知道，“规”是指画圆的圆规；“矩”是折成直角的曲尺，尺上有刻度。古人就是用这两种工具来画圆，画方形，进行测量的。
发明规矩的确切年代已无从查考。但在公元前15世纪的甲骨文中，已有规矩二字了。《史记》中有这样的记载：夏禹治水的时候，是“左准绳，右规矩”。 这意思是说，夏禹是左手拿着水准绳，右手拿规和矩进行测量，规划出治水方案的。说明在夏禹治水的年代（约公元前2000前）就有了规和矩这两种几何工具了。
规矩的使用，对于我国古代几何学的发展，有着很重要的意义。周代数学家商高曾把规矩的用处作了总结：“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远。”
这几句话，精炼地道出了矩的用途。“平矩以正绳”，是指把矩的一边放置水平，另一边是铅直方向，可以用它判定绳子是否铅直。“偃矩以望高”，是指如上图所以测山的高度，用的三角形的相似性，已知AB，BC，测得AD，就可以算出DE。“覆矩以测深”，是把上述测高的矩颠倒过来，就能测量深度。“卧矩以知远”，其原理来测高一样，只是已知高度，可以算出两地间的距离而已。
希腊人作图只能从最基本的工具──直尺和圆规开始，直尺还是没有刻度的尺。由于作图工具的限制，导致了历史上的三大几何作图不能问题：三等分任意角，倍立方，化圆为方。而在这三个难题的研究过程中又有许多发现，推动了数学的发展。
珠算与算盘
 中国人民在算筹的基础上，于公元14世纪发明了算盘。算盘从此取代了算筹，并广为流传，延续至今，成为我国最普通的计算工具之一。
除了中国，世界的其它地方也出现过算盘。希腊曾有过沙盘。在平面板上，铺上细沙，用来写字和计算；罗马时代还有一种蜡板，将蜡融化后倒在平板上，凝固后可写字记数，可反复使用；在木板上刻上若干平等的线纹，上面放卵石或木钉来记数及计算，叫算板，罗马时代也出现过嵌珠算盘，外观很像中国算盘，只有手掌大小，用金属（如青铜）制造，有小珠嵌在上下两排沟槽中，可上下滑动，但不能取走，上排的珠一当五，下排一当一，和中国算盘一样，不同地方是最右边的沟槽是专门用来表示12进分数的。罗马的嵌珠算盘由于昂贵，
没有普及。其它的算盘也因各种原因没有流传到现在。
最有生命力的是中国的穿珠算盘。它有制作简单、价廉物美的优点。汉文一字一音，运算法则编成歌谣流利顺畅 ，配合小九九和十进位值制记数法，就能运算如飞。
15世纪中期在《鲁班木经》中已有制造算盘的详细介绍。明代的《九章算法比类大全》最早记载了珠算术。把算术推到极点的要数程大位的《直指算法统宗》。算盘和珠算迅速得到了推广，并流传到了世界各地。
由于算盘长于加，减法计算，因此在有了电子计算机的今天，人们仍广泛地使用算盘。日本有很多企业仍把算盘作为计算工具，珠算甚至列入了西欧一些国家的小学课程。因为它不仅有计算功能，还能锻炼人的思维能力。
比例规
1597年伽利略发明的比例规，外形像圆规，两臂上各有刻度，可任意张合。下图是比例规合起来的形状。
比例规利用相似形对应边成比例的关系进行乘、除、比例等计算。以乘法为例，求ａ，ｂ两数之积。设OC，OD是张开的两臂，其上有相同的刻度。OA＝OB＝L是定长，取OC＝OD＝b，调整两臂张开的角度，使AB＝a，再量出CD＝x的长。L一般取10的乘幂10N，则因x＝ ab/L，故x就是a×b的有效数字，最后根据L来定位。
比例规是利用相似三角形的原理做成的，原理很简单，但却可用它来解决很多问题。例如，变换绘图比例；将已知线段五等分；若以一数的平方在脚尺上作刻度便可以求数的平方与平方根；以数的立方在脚尺上作刻度，也可以求出其立方与立方根；还可以用特制的比例规，测量特定度数的弦长，也可以根据弦长求角度。
比例规流行于17世纪的欧洲，问世不久，就传入了中国。1630年，罗雅谷在中国写了《比例规解》一书，介绍比例规的用法。现在，我国北京的故宫博物院内还藏着一些比例规，它们默默地躺在那里，向我们呈现出17世纪的算学文化。
                  三角函数表
早期的三角学是伴随着天文学而产生的。古希腊人在天文观测过程中，已经认识到三角形的边与角之间具有某种关系。古希腊天文学家希帕霍斯为了天文观测的需要，制作了一个“弦表”，即圆内不同圆心角所对弦长的表。相当于现在圆心角一半的正弦线的两倍。这就是正弦表的前身，并没有保存下来。
到了托勒密时代，托勒密继承前人的工作成果，加以整理和发展，汇编了《天文集》一书。这本巨著的中心思想是地球中心说。书中还包括我们目前发现的最早的三角函数表。不过这张表和我们现在使用的三角函数表大不相同。
托勒密所谓的弦，就是在固定的圆内，圆心角所对弦的长度。它事实上是我们现在所说的α的正弦的2倍（这个圆是单位圆）。
在《天文集》中，托勒密编制了以二分之一为间隔的从0到180之间的所有角度的弦表，它类似正弦函数表，但有些差别。它是以四分之一度为间隔的0到90的正弦函数表。
现在，我们的基本的三角函数表已发展到四个：正弦、余弦、正切、余切。
三角函数及其应用的研究，现在已成为一个重要的数学分支──三角学，它是现代数学的基础知识之一。
计算机的原型──图灵机
现代计算机的原型当推英国人图灵设计的“理想计算机”。图灵探讨了通用数字计算机制造的可能性。他于1943年实际造出破译密码的计算机，在二战中帮助英国破译德军的密码，在时间上早于第一台电子计算机。只是由于军事保密，外人鲜知其详。
图灵的设计思想主要是，把人们在进位时计算时的动作分解为比较简单的动作。设想一个人在一张纸上做计算，他需要：(1)一种储存计算结果的存储器，即纸张；(2)一种语言，表示加减乘除等操作和数字的符号；(3)扫描区，在计算过程中，看到的上下左右几个方格中的数字；(4)计算意向，即在计算的每一阶段打算下一步做什么，例如看到6＋9就要准备进位等；
(5)执行下一步计算。
至于每一步计算，无非是：(1)改变数字或符号；(2)扫描区的改变，往左进位或往右添位等(3)计算的意向改变等。
图灵把问题设想得更简单一些，把26×32的竖式演算穿在纸带上：26×32＝52＋780＝832。如果每个数字都用二进位数表示，加减乘除、等号也用二进数码表示，那么一个计算就得到一条纸带上的由0和1组成的数串。设有一架机器，读写头解释带子上的输入和给出意向机器的输出。注视格的内容经读写头传给机器，由子机器决定下一步操作交读写头去执行。读写头要做的动作无非是三类：

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