(名师选题)全国通用版高中数学第五章三角函数知识点梳理
单选题
1、若扇形周长为20，当其面积最大时，其内切圆的半径r 为（    ）
A ．5−1sin1
B ．1sin1+32
C ．5sin11+sin1
D ．5+51+sin1
答案：C
分析：先根据扇形周长求解出面积取最大值时扇形的圆心角和半径，然后根据图形中的内切关系得到关于内切圆半径r 的等式，由此求解出r 的值.
设扇形的半径为R ，圆心角为α，面积为S ，因为2R +αR =20，
所以S =12αR 2=(10−R )R ≤(10−R+R 2)2=25，取等号时10−R =R ，即R =5，
所以面积取最大值时R =5,α=2，
如下图所示：
设内切圆圆心为O ，扇形过点O 的半径为AP ，B 为圆与半径的切点，
因为AO +OP =R =5，所以r +r sin∠BPO =5，所以r +r sin1=5，
所以r =5sin11+sin1，
故选：C.
2、函数f(x)=sin (2x −π3)的一个对称中心的坐标是（    ）
A ．(0,0)
B ．(0,−
√32)C ．(π2,0)D ．(π6,0) 答案：D
分析：解方程2x −π3=kπ,k ∈Z 即得解.
解：令2x −π3=kπ,k ∈Z,∴x =12kπ+π6， 令k =0,∴x =π6
， 所以函数f(x)=sin (2x −π3)的一个对称中心的坐标是(π6
,0). 故选：D
3、若角α的终边上一点的坐标为(1，−1)，则cosα=(    )
A ．−1
B ．−
√22C ．√22D ．1 答案：C
分析：根据任意角三角函数的定义即可求解.
∵角α的终边上一点的坐标为(1，−1)，它与原点的距离r =√12+(−1)2=√2，
∴cosα=x r =√2=√22
， 故选：C.
4、已知sinθ=45，则
sin (π−θ)cos(π
2+θ)cos (π+θ)sin(π2−θ)=（    ） A ．−16
9B ．169C ．−43D ．4
3 答案：B
分析：由诱导公式和同角关系sin (π−θ)cos(π
2+θ)cos (π+θ)sin(π2−θ)可化为sin 2θ
cos 2θ，再由同角关系由sinθ求出cos 2θ，由此可得结果. ∵  sinθ=4
5，
∴cos2θ=1−sin2θ=9
25
则sin(π−θ)cos(π
2
+θ)
cos(π+θ)sin(π
2
−θ)
=sinθ(−sinθ)
(−cosθ)cosθ
=sin2θ
cos2θ
=16
9
，
故选：B.
5、f(x)=−sinx−x
cosx+x2
在[−π,π]的图象大致为（）
A．B．
C．D．
答案：C
分析：先由函数为奇函数可排除A，再通过特殊值排除B、D即可.
由f(−x)=−sin(−x)+x
cosx+x2=−−sinx−x
cosx+x2
=−f(x)，所以f(x)为奇函数，故排除选项A.
又f(π)=−sinπ−π
cosπ+π2=−π
π2−1
<0，则排除选项B,D
故选：C
6、海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.一般早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在
涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深值（单位：m）记录表
已知港口的水的深度随时间变化符合函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B，现有一条货船的吃水深度（船底与水面
的距离）为4m，安全条例规定至少要有2m的安全间隙（船底与海底的距离），该船计划在中午12点之后按
规定驶入港口，并开始卸货，卸货时，其吃水深度以每小时0．25m的速度减小，4小时卸完，则其在港口最
多能停放（）A．4小时B．5小时C．6小时D．7小时
答案：B
分析：由已知表格中数据求得f(x)=2sinπ
6
x+5，根据驶入港口f(x)大于等于6，离开时f(x)大于等于5，分析即可得答案.
由表格中的数据可知，f(x)max=7,f(x)min=3，则A=f(x)max−f(x)min
2=7−3
2
=2,B=f(x)max+f(x)min
2
=7+3
2
=5.
由T=12，∴ω=2π
T =π
6
，故f(x)=2sin(π
6
x+φ)+5，
当x=3时，f(x)=7，则2sin(π
6
x+φ)+5=7∴2cosφ=2，即cosφ=1，得φ=0.
∴f(x)=2sinπ
6
x+5.
由f(x)=2sinπ
6x+5=6，得sinπ
6
x=1
2
，
即π
6x=π
6
+2kπ,k∈Z或π
6
x=5π
6
+2kπ,k∈Z
∴x=12k+1,k∈Z或x=12k+5,k∈Z.
又该船计划在中午12点之后按规定驶入港口，
∴k=1时，x=13，即该船应在13点入港并开始卸货，
卸货时，其吃水深度以每小时0．25m的速度减小，4小时卸完，卸完后的吃水深度为4−0.25×4=3，
所以该货船需要的安全水深为3+2=5米，由f(x)=2sinπ
6x+5=5，得sinπ
6
x=0，
即π
6x=0+2kπ,k∈Z或π
6
x=π+2kπ,k∈Z
∴x=12k,k∈Z或x=12k+6,k∈Z.
所以可以停留到18点，此时水深为5米，货船需要离港，则其在港口最多能停放5小时.
故选：B
7、函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0)图像上一点P(s,t)(−2<t<2)向右平移2π个单位，得到的点Q也在f(x)
图像上，线段PQ与函数f(x)的图像有5个交点，且满足f(π
4−x)=f(x)，f(−π
2
)>f(0)，若y=f(x)，x∈
[0,π
2
]与y=a有两个交点，则a的取值范围为（）
A．(−2,−√2]B．[−2,−√2]C．[√2,2)D．[√2,2]
答案：A
分析：首先根据已知条件分析出|PQ|=2π=2T，可得ω=2，再由f(π
4
三角函数表格0到90−x)=f(x)可得y=f(x)对称轴为
x=π
8，利用f(−π
2
)>f(0)可以求出符合题意的一个φ的值，进而得出f(x)的解析式，再由数形结合的方法求
a的取值范围即可.
如图假设P(0,0)，线段PQ与函数f(x)的图像有5个交点，则|PQ|=2π，所以由分析可得|PQ|=2π=2T，所以T=π，
可得ω=2π
T =2π
π
=2，
因为f(π
4−x)=f(x)所以f[π
4
−(π
8
+x)]=f(π
8
+x)，即f(π
8
−x)=f(π
8
+x)，
所以x=π
8
是f(x)的对称轴，
所以2×π
8+φ=π
2
+kπ(k∈Z)，即φ=π
4
+kπ(k∈Z)，
f(−π
2
)=2sin(−π+φ)=−2sinφ>f(0)=2sinφ，
所以sinφ<0，可令k=−1得φ=−3π
4
，
所以f(x)=2sin(2x−3π
4
)，
当x∈[0,π
2]时，令2x−3π
4
=t∈[−3π
4
,π
4
]，则f(t)=2sint，t∈[−3π
4
,π
4
]
作f(t)图象如图所示：

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