托勒密计算正弦函数表的方法
托勒密 (Ptolemy, 100--178) 是希腊文明末期的天文学家，他的宇宙观大约主宰了西方人 1500 年的看法。虽然与今天所知的事实不相符，但是他的观察和假说，在当时的确可以解释所有的天文现象，并能用以预测星体的运行。为了天文学的研究，托勒密需要三角函数来做计算。当时并不存在足够精密的三角函数值，于是他自己计算了一张三角函数的数值表格。严格地说，他是计算了从 0 度开始，以 1/2 度为间隔，到 180 度为止的弦长表： Crd(x)：x 度的弦长。它就是单位圆 (半径为 1 的圆) 之 x 度圆心角所对应的弦长。见下图
但是因为
Crd(x) = 2 sin (x/2)
所以就相当于求得了从 0 度开始，以 1/4 三角函数表格0到90度为间隔，到 90 度为止的正弦函数值。而我们都知道，其它的三角函数值都可以由正弦函数得到。
在我们开始之前，要特别提醒读者，当时托勒密使用的是 60 进位的非对位记数系统。他不但没有小数的观念，更没有直式计算法。而所有的三角函数公式推导，全部要用纯粹的平面几何知识。
首先，利用圆的内接正多边形的边长，可以知道某些特殊角的弦长。例如边数是 3、4、5、6、10 的时候，得知 120 度、90 度、72 度、60 度和 36 度的弦长。其它的角度，就不容易由这种方法求得了。完全用几何知识，托勒密发现了一些我们今天熟知的和 (差) 公式与半角公式：
sin(x+y) = sinx cosy + cosx siny,    sin2(x/2) = (1-cosx)/2
但是他是以 Crd(x) 的形式来表现以上公式。所以用差角公式可以从 Crd(72) 和 Crd(60)，得到 Crd(12)。再用半角公式，可以从 Crd(12) 得到 Crd(6)、Crd(3) 和 Crd(3/2)。托勒密的最后绝招是三倍角公式：
sin(3x) = 3 sinx - 4 sin3x
理论上，将上式代入 x=1/2，利用已知的 Crd(3/2)，就得知 Crd(1/2)。实际的问题是，怎样解上述的三阶多项式？ 1900 年前的希腊数学，还不会解这个问题。即使是今天，如果不许使用计算器，也很少有人能解得出来。所以托勒密在这里花了相当大的工夫，而且还无法得到真确的解，只能估计。即使那些理论上用差角或半角公式可以得到真确答案的弦长，也有实际上的困难。因为半角公式要开根号。计算到 Crd(3/2) 的时候，一共要开 5 层的根号！即使是今天，若只准许用纸笔来计算，仍然是件非常人能及的工作。
就这样千辛万苦地，托勒密估计了 Crd(1/2) 的值。因为他没有小数点可用，就令圆的半径是 60 (他用的数是 60 进位的)，使得计算的结果是 60*Crd(x)，然后取整数和近似的分数。可见，即使这样辛苦地计算，到头来的相对数值误差还是颇高。
这份扩编教材只是要让读者体验先民的创造性工作、欣赏他们所突破的困难，并了解在微积分之前，要制造更精确的三角函数表的困难程度。我们无意在此重现完整的数学 (特别是平面几何) 推理过程。欲知详情，请看课外读物。
课外读物：

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