第七章--三角函数知识点归纳总结
三角函数
任意角的概念与弧度制
角是沿x轴正向的射线围绕原点旋转所形成的图形，逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角。同终边的角可以表示为：
计算与化简
证明恒等式
已知三角函数值求角度：
当 $\alpha=\beta+k\cdot360^{\circ}(k\in Z)$ 时，$\alpha$ 与 $\beta$ 为同一角。
当 $\alpha=k\cdot180^{\circ}(k\in Z)$ 时，$\alpha$ 与 $x$ 轴正方向的角度相同。
当 $\alpha=90^{\circ}+k\cdot180^{\circ}(k\in Z)$ 时，$\alpha$ 与 $y$ 轴正方向的角度相同。
第一象限角、第二象限角、第三象限角和第四象限角分别为：
区分第一象限角、锐角以及小于90度的角：
第一象限角：$\alpha+k\cdot360^{\circ}<\alpha<90^{\circ}+k\cdot360^{\circ}(k\in Z)$。
锐角：$0<\alpha<90^{\circ}$。
小于90度的角：$\alpha<90^{\circ}$。
如果 $\alpha$ 是第二象限角，则它是第二象限角。
弧度制
弧度制是指当弧长等于半径时，所对的圆心角为1弧度的圆心角，记作1rad。角度与弧度的转换公式为：$1^{\circ}\approx0.\text{rad}\approx57.30^{\circ}=57^{\circ}18'$。
角度与弧度对应表：
弧长与面积计算公式
弧长公式为：$l=\alpha\cdot R$，面积公式为：$S=\frac{1}{2}\alpha R^2$。注意，这里的 $\alpha$ 均为弧度制。
任意角的三角函数
正弦、余弦和正切分别表示为：$\sin\alpha=\frac{y}{r}$，$\cos\alpha=\frac{x}{r}$，$\tan\alpha=\frac{y}{x}$，其中 $(x,y)$ 是角 $\alpha$ 终边上任意一点的坐标，$r=\sqrt{x^2+y^2}$。
三角函数值对应表：
对于函数y=Asin(ωx+φ)，其周期为T=2π/ω。
1、将函数y=sin x的图像向左（右）平移φ个单位长度，得到函数y=sin(x+φ)的图像；
2、将函数y=sin(x+φ)的图像上所有点的横坐标伸长（缩短）到1/ω倍（纵坐标不变），得到函数y=sin(ωx+φ)的图像；
3、将函数y=sin(ωx+φ)的图像上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A倍（横坐标不变），
得到函数y=Asin(ωx+φ)的图像。
2、对于函数y=Asin(ωx+φ)，其振幅为A，周期为T=2π/ω，频率为f=ω/2π，相位为ωx+φ，初相为φ。
3、周期函数的定义：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，T叫做该函数的周期。
4、对称轴和对称中心的计算公式：
⑴对于函数y=Asin(ωx+φ)，其对称轴为x=kπ-φ/ω，对称中心为x=kπ，其中k为整数。
⑵对于函数y=Acos(ωx+φ)，其对称轴为x=kπ-φ/ω+π/2，对称中心为x=kπ+π/2，其中k为整数。
⑶周期公式：对于函数y=Asin(ωx+φ)，其周期为T=2π/ω。
1.函数y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的周期分别为T=2π/ω和T=2π/ω，其中A、ω、φ为常数且A≠0.
2.函数y=Atan(ωx+φ)的周期为T=π/ω，其中A、ω、φ为常数且A≠0.
5.三角函数的图像与性质表格：
函数性质：
y=sin x
y=cos x
y=tan x
图像：
定义域：
R
R
x≠kπ+π/2，k∈Z
值域：
1,1]
1,1]
R
最值：
ymax=1，ymin=-1
ymax=1，ymin=-1
无最大值和最小值
周期性：
2π
2π
π
奇偶性：
奇函数
偶函数
奇函数
单调性：
在[2kπ,2kπ+π]上是增函数，在[2kπ+π,2(k+1)π]上是减函数
在[2kπ,2kπ+π/2)上是增函数，在(2kπ+π/2,2kπ+π]上是减函数
在(kπ-π/2,kπ+π/2)上是增函数
对称性：
对称中心为(kπ,0)，对称轴为x=kπ+
对称中心为(kπ+π/2,0)，对称轴为x=kπ+π/2
对称中心为(0,0)，无对称轴
6.用五点法作y=Asin(ωx+φ)的简图，设t=ωx+φ，取x的值以及对应的y值再描点作图。
7.函数y=Asin(ωx+φ)的图像。
8.函数的变换：
1）函数的平移变换：
①y=f(x)→y=f(x±a)（a>0）将y=f(x)的图像沿x轴向左（右）平移a个单位（左加右减）。
②y=f(x)→y=f(x)±b（b>0）将y=f(x)的图像沿y轴向上（下）平移b个单位（上加下减）。
2）函数的伸缩变换：
①y=f(x)→y=f(wx)（w>0）将y=f(x)的图像横坐标缩短到原来的1/w倍（w>1缩短，0<w<1伸长）。
②y=f(x)→y=Af(x)（A>0）将y=f(x)的图像纵坐标伸长到原来的A倍（A>1伸长，0<A<1缩短）。
3）函数的对称变换：
y=f(x)可以通过y=f(-x)绕y轴翻折180度得到，即整体翻折。对于三角函数而言，它们的图像关于x轴对称。
同样地，y=f(x)可以通过y=-f(x)绕x轴翻折180度得到，即整体翻折。对于三角函数而言，它们的图像关于y轴对称。
y=f(x)可以在y轴右侧保留，并将右侧图像绕y轴翻折到左侧，从而得到y=f(x)。这是偶函数的局部翻折。对于x轴下方的图像，可以通过绕x轴翻折来得到y=f(x)，即局部翻折。
三角恒等变换包括两角和与差的正弦、余弦、正切公式，以及二倍角公式、降幂公式和升幂公式、半角公式。其中，正弦、余弦、正切的两角和与差公式分别为sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ、sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ、cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ、cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ、tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)、tan(α-β)=(ta
nα-tanβ)/(1+tanαtanβ)。而asinα+bcosα=a^2+b^2sin(α+θ)(其中，辅助角θ所在象限由点(a,b)所在的象限决定，sinθ=b/√(a^2+b^2)，cosθ=a/√(a^2+b^2)，tanθ=b/a，该法也叫合一变形)。此外，还有1+tan^2(θ)=sec^2(θ)、1+cot^2(θ)=csc^2(θ)等公式。
1.万能公式：
2.角变换：
在运算化简过程中，三角变换是经常使用的变换之一。要提高三角变换能力，需要掌握创设条件、灵活运用三角公式、掌握运算和化简的方法技巧。角之间的和差、倍半、互补、互余等关系可用于角变换，还可以进行添加、删除角的恒等变形。
3.函数名称变换：
在三角变形中，经常需要将函数名称变为同名函数。可以使用公式：
asinbcosa2b2sin()
其中cos
1
1(3)22
a
a2b2
sin
b
a2b2
例如，对于函数y=sinx+3cosx，可以进行如下变换：
y= sinx + 3cosx
1/2 + (3/2)(sinx + cosx)
2/3 + (3/2)sin(x + π/3)
三角函数表格0到90
4.凑角运用：
可以使用公式：，1/2(||)，()进行凑角运用。例如，如果已知、(3π/2.π)，sin(+)=-1，sin(-)=1/2，则cos(+π/3)=?
5.常数代换：
在三角函数运算、求值、证明中，有时需要将常数转化为三角函数。特别是常数“1”可转化为“sin+cos”。
6.XXX的变换：
对于次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理。有时需要升幂，例如1+cosa可以升幂化为有理式。
7.公式变形：
三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用、逆用及变形。
8.结构变化：
在三角变换中，常常需要对条件、结论的结构进行调整，或重新分组，或移项，或变乘为除，或求差等等。在形式上有时需要和差与积的互化、分解因式、配方等。
9.消元法：
如果所要证明的式子中不含已知条件中的某些变量，可用消元法。
10.思路变换：
如果一种思路无法再走下去，可以尝试改变自己的思路，通过分析比较选择更合适、简捷的方法去解题目。
11.利用方程思想解三角函数：
对于以下三个式子：sina+cosa，sinacosasina-cosa，已知其中一个式子的值，其余二式均可求出，且必要时可以换元。
函数的最值（几种常见的函数及其最值的求法）：
1.对于y=asinx+b（或acosx+b）型函数，可以利用三角函数的值域来求解最值，但需要注意对a和b的讨论。
2.对于y=asinx+bcosx型函数，可以引入辅助角，将其化为y=2a^2/(a^2+b^2)sin(x+φ)的形式，然后利用有界性来求解最值。
3.对于y=asinx+bsinx+c型函数，可以先配方，然后将其化为二次函数的形式，最后考虑sinx≤1的约束条件来求解最值。
4.对于y=(asinx+b)/(csinx+d)型函数，可以先反解出sinx，然后将其化归为sinx≤1的形式来求解最值。
5.对于y=a(sinx+cosx)+bsinx·cosx+c型函数，常常需要使用换元法，令t=sinx+cosx，但需要注意t的取值范围为t≤2.
三角形中常用的关系：
在三角形ABC中，有以下常用的关系式：
1.sinA=sin(B+C)
2.cosA=-cos(B+C)
3.sin2A=-sin2(B+C)
4.cos2A=cos2(B+C)
常见数据：
1.sin15°=cos75°=(√6-√2)/4
2.sin75°=cos15°=(√6+√2)/4
3.AB+AC=cosB
4.AB-AC=cosC
5.BC+CA=cosA
6.BC-CA=cos(B+C)

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