2 30°,45°,60°角的三角函数值教学设计 |
1.经历探索30°,45°,60°角的三角函数值的过程,能够进行有关推理,进一步体会三角函数的意义.
2.能够进行含有30°,45°,60°角的三角函数值的计算.
3.能够根据30°,45°,60°角的三角函数值,说出相应的锐角的大小.
通过交流探索30°,45°,60°角的三角函数值的过程,发展学生观察、分析、发现问题的能力,培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.
通过数学活动,产生好奇心.培养学生独立思考问题的习惯,锻炼克服困难的意志,建立学好数学的
自信心.
【重点】 探索30°,45°,60°角的三角函数值,能够进行含30°,45°,60°角的三角函数值的计算.
【难点】 进一步体会三角函数的意义.
【教师准备】 教学用三角板一副和多媒体课件.
【学生准备】
1.一副三角板.
2.复习三角函数的概念.
【引入】 前面我们已经学会了用锐角三角函数表示直角三角形的边角关系,这节课我们将利用我们常用的三角板的两个特殊的三角形探讨30°,45°,60°角的三角函数值.
[设计意图] 利用三角板组成的松树图形创设情境,引导学生发现三角板中的特殊锐角,使他们对本节课的学习目标和学习任务一目了然.
导入:
课件出示:
动手做一做:请测量出你们手中的三角板中30°角的对边和斜边的长度.
【问题】
1.你能利用你测量的边长求出sin 30°的值吗?cos 30°和tan 30°呢?
2.类比上面的做法,你们能得出45°角和60°角的三角函数值吗?
[设计意图] 通过动手操作,既引入了课题,又初步掌握了30°,45°,60°角的三角函数值的探究方法,一举两得.
[过渡语] 三角板我们经常用,但是你们知道这两个三角板的边和角之间存在什么样特殊的关系吗?
探究活动(一) 30°角的三角函数值
课件出示:
一副三角板图片
有关这副三角板的边角关系的知识,你已经了解哪些?
生回忆后得出结论:
(1)直角三角形中,30°角所对的直角边是斜边的一半;
(2)45°角所在的直角三角形的两直角边相等.
师出示:除了利用测量的方法外,你能利用上面的性质得出sin 30°等于多少吗?你是怎样得到的?
生很容易得出:sin 30°=.
【教师强调】 sin 30°表示在直角三角形中,30°角的对边与斜边的比值,与直角三角形的大小无关.
【师生活动】 我们不妨设30°角所对的边为a(如图所示),根据“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”的性质,可得斜边等于2a,所以sin 30°==.
【思考】 类似地,你能计算出cos 30°等于多少吗?tan 30°呢?
学生思考后,独立解答,代表展示:
根据勾股定理得较长的直角边长为a,所以cos 30°==,tan 30°===.
[设计意图] 因为三角板是学生非常熟悉的学习用具,所以学生在探究30°角的三角函数值时就会有一种亲切感,为60°角和45°角的三角函数值的探究做好准备.
探究活动(二) 45°,60°角的三角函数值
[过渡语] 类比30°角的三角函数值,我们同样可以得出45°,60°角的三角函数值.
课件出示:
【做一做】
(1)60°角的三角函数值分别是多少?你是怎样得到的?
【学生活动】 生先独立思考,然后小组交流.
代表发言:求60°角的三角函数值可以利用求30°角三角函数值的三角形.因为30°角的对边和邻边分别是60°角的邻边和对边.所以很容易求得:
sin 60°==,cos 60°==,tan 60°==.
(2)45°角的三角函数值分别是多少?你是怎样得到的?
【学生活动】 生稍加思考,代表板演:
如图所示,设其中一条直角边为a,则另一条直角边也为a,根据勾股定理可得斜边为a.由此可求得:
sin 45°===,cos 45°===,tan 45°==1.
(3)完成下表.
【学生活动】 学生独立完成上表,可能会有学生出现三角函数值混淆的情况.
【教师强调】 这个表格中的30°,45°,60°角的三角函数值
需熟记,另一方面,要能够根据30°,45°,60°角的三角函数值
说出相应的锐角的大小.为了帮助大家记忆,我们来一起观察总
结表格中三角函数值的特点.
①先看第一列30°,45°,60°角的正弦值,你能发现什么规律呢?
生观察后发现:30°,45°,60°角的正弦值分母都为2,分子从小
到大分别为,,,随着角度的增大,正弦值在逐渐增大.
②再来看第二列函数值,有什么特点呢?
生观察后发现:第二列是30°,45°,60°角的余弦值,它们的分母
也都是2,分子从大到小分别为,,,余弦值随角度的增大而减小.
③第三列呢?
生观察后发现:第三列是30°,45°,60°角的正切值,函数值依次扩大倍,并且随着角度的增大,正切值在逐渐增大.
【教师点拨】 第三列的函数值可以变为,,.所以第三列的规律可以总结为它们的分母都是3,而分子从小到大分别为,,.
由于30°,45°,60°三个特殊角的三角函数值的分母都可以变化成一样的,只是分子不同,所以30°,45°,60°角的三角函数值可以利用口诀“一二三,三二一,三九二十七”进行记忆.
[设计意图] 运用三角函数之间的关系,引导学生推导出了9个特殊值,并利用口诀记忆三个特殊角的三角函数值,帮助学生把枯燥无味的记忆变得生动有趣,节约了学生的时间.
(三)例题解析
[过渡语] 通过探究我们已经掌握了特殊角的三角函数值,下面我们就利用这些特殊角的三角函数值解决一些相关的问题,以检验我们对新知的理解能力.
课件出示:
计算:
(1)sin 30°+cos 45°;
(2)sin260°+cos260°-tan 45°.
【教师提示】 sin260°表示(sin 60°)2,cos260°表示(cos 60°)2。
【学生活动】 生独立解答,两名学生板演,展示解题步骤:
解:(1)sin 30°+cos 45°=+=.
(2)sin260°+cos260°-tan 45°=+-1=0.
[设计意图] 通过不同类型题目的练习,帮助学生巩固特殊角的三角函数值,让学生能更加熟练地进行三角函数值的计算.
[知识拓展] 计算含三角函数值的代数式的步骤:(1)求出特殊角的三角函数值;(2)根据实数的运算顺序进行计算.
如图(1)所示,一个小孩荡秋千,秋千链子的长度为2.5 m,当秋千向两边摆动时,摆角恰好为60°,且两边的摆动角相同,求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差(结果精确到0.01 m).
〔解析〕 让学生探讨解决实际应用问题的关键,并结合图形说出题目的已知条件和未知条件.
【学生活动】 学生以抢答的形式回答:解决实际应用问题的关键是将实际问题转化为数学问题,如图(2)所示,已知OB=OA=OD=2.5,∠BOD=60°,OA⊥BD,求AC的长.而AC=OA-OC,所以求出OC是解此题的关键.
【师生活动】 要求学生先独立解答,有困难的和同伴交流或向老师求助.
代表展示,师出示解题步骤:
解:如图(2)所示,根据题意可知:
∠AOD=×60°=30°,OD=2.5 m,
∴OC=OD·cos 30°=2.5×≈2.165(m) ,
∴AC≈2.5-2.165≈0.34(m).
∴最高位置与最低位置的高度差约为0.34 m.
[设计意图] 通过对实际问题的解决,进一步帮助学生巩固特殊角的三角函数值,并培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.
1.30°,45°,60°三个特殊锐角的三角函数值.
2.运用30°,45°,60°角的三角函数值进行相关的计算.
1.计算6tan 45°-2cos 60°的结果是 ( )
A.4 B.4 C.5 D.5
解析:原式=6×1-2×=5.故选D.
2.式子2cos 30°-tan 45°-的值是 ( )
A.2-2 B.0 C.2 D.2
解析:原式=2×-1-(-1)=-1-+1=0.故选B.
3.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2BC,现给出下列结论:①sin A=;②cos B=;
③tan A=;④tan B=.其中正确的结论是 .(只需填上正确结论的序号)
解析:如图所示,∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2BC,∴sin A==,故①错误;∵sin A=,∴∠A=30°,∴∠B=60°,∴cos B=,故②正确;∵∠A=30°,∴tan三角函数表格0到90 A=tan 30°=,故③正确;∵∠B=60°,∴tan B=tan 60°=,故④正确.故填②③④.
4.如图(1)所示,以O为圆心,任意长为半径画弧,与射线OM交于点A,再以A为圆心,AO长为半径画弧,两弧交于点B,画射线OB,则cos∠AOB的值等于 .
解析:如图(2)所示,连接AB,由画出图形的过程可知OA=OB,AO=AB,∴OA=AB=OB,即三角形OAB为等边三角形,∴∠AOB=60°,∴cos∠AOB=cos 60°=.故填.
5.如图所示,小明在公园里放风筝,拿风筝线的手B离地面的高度AB为1.5 m,风筝飞到C处时的线长BC为30 m,这时测得∠CBD=60°,求此时风筝离地面的高度.(结果精确到0.1 m,≈1.73)
解:在直角三角形BCD中,sin∠CBD=,
∴CD=BC·sin∠CBD=30×sin 60°=15≈25.95(m).
∴CE=CD+AB≈25.95+1.5=27.45≈27.5(m).
答:此时风筝离地面的高度约是27.5 m.
2 30°,45°,60°角的三角函数值
一、教材作业
【必做题】
1.教材第9页随堂练习第1,2题.
2.教材第10页习题1.3第1~4题.
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