对我启发最⼤的数学学习⽅法（转⾃知乎）
数学⽅⾯的能⼒该怎么培养
数学系博⼠怒答！
自学编程能工作吗我想⼤家都有这样的体会：⼩学的时候你根本不知道初中数学是什么样，⾼中的时候你也根本想不到⼤学数学是什么样。⽽⼤学⽣，如果你不专注于数学，恐怕也不知道现代数学是什么模样。下⾯将分别从学数学的动机、数学不同学科的分类以及如何切实可⾏培养数学能⼒等⼏个⽅⾯阐述如何学习数学。（另外，欢迎⼤家收看在数学系读书的感受如何？体会⼀下数学的乐趣，数学系⼈的特点以及智商不够该怎么办。）
================进⼊正题========如何学好数学===============
⼀、认清你的需要
为什么需要学习数学，这是你⾸先需要想清楚的问题。数学学科⼦分类多、每⼀本数学书中都有许多定理和结论，需要花⼤量时间研究。⽽⼈的时间是宝贵的、有限的，所以你需要⼤体有⼀个⽬标和计划，合理安排时间。
1.1 你的⽬标是精通数学、钻研数学，以数学谋⽣，你可能⽴志掌握代数⼏何，或者想精通前沿物理。那么你需要打下坚实的现代代数、⼏何以及分析基础，你需要准备⼤量时间和精⼒，拥有坚定不移的决⼼。（要求：精通全部三级⾼等数学）
1.2 你的⽬标是能够熟练运⽤⾼等数学，解决问题，掌握探索新应⽤领域的武器，你可能⽴志进⼊计算机视觉领域、经济学领域或数据挖掘领域。那么，你需要打下坚实的矩阵论、微积分以及概率统计基础。（要求：精通第⼀级⾼等数学）
1.3 你的⽬标是想了解数学的乐趣，把学数学作为⼈⽣⼀⼤业余爱好。那么，你需要打下坚实的线性代数、数学分析、拓扑学以及概率统计基础，对你来说，体会学数学的乐趣是⼀个更重要的⽬标。（精通第⼀级⾼等数学，在第⼆级⾼等数学中畅游，尝试接触第三级⾼等数学）
⼆、给⾃⼰⾜够的动⼒
学数学需要智⼒，更需要时间和精⼒。下⾯的⼏个事实相⼤家都深有体会：
1. 凡是没有⽤的东西，或者虽然有⽤，但是你⽤不到的东西，学得快忘得也快。不信你回忆⼀下你⼤⼀或者初⼀的基础课，你还记的清楚吗？
2. 凡是你不感兴趣（或者感觉不到乐趣）的东西，你很难坚持完成它。很多⼈都有这样的经历，⼀本书，
前三章看的很仔细，后⾯就囫囵吞枣，越看越快，反正既没意思也没⽤。
3. ⼩学数学是中学数学的基础，中学数学是⾼中数学的基础，⾼中数学是⼤学数学的基础（你可以以此类推）。
因此，⽆论你的⽬标是什么，搞数学、⽤数学、还是体会数学的乐趣、满⾜⾃⼰从少年时就有的梦想。学有所乐、学有所⽤，永远是维持你动⼒不衰退的两个最主要的因素。
三、⾼等数学学什么？
好了，来看看标准⼤学数学的科技树：
⼀级：
线性代数（矩阵论），数学分析，近世代数（环域），分别囊括了了⼏何、分析和代数的基础理论。别忘了还有概率论（建⽴在分析之上的⼀门基础学科）。
⼆级：
有了这些基础，接着是基础的基础、抽象和推⼴：测度论（积分的基础，当然也是概率论的基础），拓
扑学（有关集合、空间、⼏何的⼀门极度重要的基础学科），泛函分析（线性代数的推⼴），复变函数（分析的推⼴），常微分⽅程与偏微分⽅程（分析的推⼴），数理统计和随机过程（概率论的推⼴），微分⼏何（分析和⼏何的结合）。
然后是⼀些⼩清新和应⽤学科：数值分析（算法），密码学，图形学，信息论，时间序列，图论等等。
三级：
再往上是研究⽣课题，往往是代数、⼏何和分析要⼀起上：微分流形、代数⼏何、随机动⼒学等等。
这个科技树的三级，和⼩学、初中、⾼中数学很相似，⼀层学不精通，下⼀层看天书。
四、如何学习
4.1 适量做题
千万千万千万不要狂做题。玩过战略对抗游戏的同学都知道，低级兵造⼏个就⾏了，要攒钱出⾼级兵才能在后期取胜，低级兵不仅攻击⼒低，还没有好玩的魔法，它们存在的意义在于让你有能⼒熬到后期。上⾯列举了那么多课程，你先花5年做完吉⽶诺维奇六本数学分析习题集，你就30岁了，后⾯的⼆级课程还没开始学呢。因此，做⼀些课后习题，帮助你复习、思考、维持⼤脑运转就⾏，要不断地向后学。如果完全学不懂了，返回来做习题帮⾃⼰理清头绪。
4.2 了解思想
数学的精髓不是做题的数量，⽽是掌握思想。每⼀个数学分⽀都有⾃⼰的主线思想和⽅法论，不同分⽀也有相互可供对⽐和借鉴的思维⽅式。留意它，模仿它，琐碎的知识就串成了⼀条项链，你也就掌握了⼀门课。思想并不是读⼀本教材就能轻易了解的，你要读好⼏本书，了解⼀些应⽤才能体会。举两个例⼦：
微积分的主线有这么⼏条：认识到微观和宏观是有联系的，微分⽤来刻画事物如何变化，它把细节放⼤给你看，⽽积分⽤来刻画事物的整体性质；微分和积分有时是描述⼀个现象的不同⽅式，这⼀点你在数学分析书中可能不容易发现，但是如果学点物理，就会发现麦克斯韦⽅程组同时有等价的微分形式和积分形式；积分变换能够建⽴不同空间之间的的联系，建⽴空间和空间边界的联系，这就是Stokes定理：，这个公式最迟要在微分流形中你才能⼀窥全貌。
矩阵是空间中线性变换的抽象，线性代数这门课的全部意义在于研究如何表达、化简、分类空间线性变换算⼦；SVD分解不仅在应⽤学科⽤有极为⼴泛的亮相，也是你理解矩阵的有⼒⼯具；矩阵是有限维空间上的线性算⼦，对"空间"的理解不仅能让你重新认识矩阵，更为泛函分析的学习开了个好头。
4.3 渐进式迂回式学习，对⽐学习
很多时候，只读⼀本书，可能由于作者在某处思维跳跃了⼀下，以后你就再也跟不上了。学习数学的⼀个诀窍，就是你同时拿到好⼏本国际知名教材，相互对⽐着看，或者看完⼀本然后再看同⼀主题的另⼀本书，已经熟悉的内容跳过去，如果看不懂了，停下来思考或者做做习题，还是不懂则往后退⼀退，从能看懂的部分向前推进，当你看的多了，就会发现⼀个东西出现在很多地⽅，对它的理解就加深了。举两个例⼦：
外微分这个东西，国内有的数学分析书⾥可能不介绍，我第⼀次遇到是在彭家贵的《微分⼏何》⾥，觉得这是个⽅便巧妙的⼯具；后来读卓⾥奇的《数学分析》和Rudin的《数学分析原理》，都讲了这个东西，可见在西⽅外微分是⼀个基础知识。你要读懂它，可能要⾸先理解矩阵，明⽩⾏列式恰好是空间体积在矩阵的变换下拉伸的倍数，它是⼀种线性形式。最后，当你读微分流形后，将发现外微分是获得流形上的Stokes定理的⼯具。
点集拓扑学这个东西，搞应⽤⽤不到。但是但凡你想往深处学，这⼀门学科就必须要掌握，因为它提供对诸如开集、紧集、连续、完备等数学基本概念的精准刻画。往后学泛函分析、微分流形，没有这些概念你将⼨步难⾏。⾸先你要读芒克⾥斯的旷世名著《拓扑学》，接着在读其他外国⼈写的书时，或多或少都会接触⼀些相关概念，你的理解就加深了，⽐如读Rudin 的《泛函分析》，开始就是介绍线性拓扑空间，前⾯的知识你就能⽤上了。
4.4 建⽴不同学科的联系
看到⼀个东西在很多地⽅⽤，你对它的理解就加深了，慢慢也就能体会到这个东西的精妙，最后你会发现所有的基础学科相互交织，⼜在后续应⽤中相互帮助，切实体会到它们真的很基础，很有⽤。这是⼀种体会数学乐趣的途径。
4.5 关注应⽤学科
没有什么⽐应⽤更能激发你对新知识、新⼯具的渴望。⼀些感兴趣的应⽤学科教材，读⼀读，开阔眼界，为⾃⼰的未来积累资源。以下结合⾃⼰的专业（计算机视觉）和爱好说说⼀些优秀的专业书籍：
学了微积分，就可以⽆压⼒阅读《费恩曼物理学讲义第⼀卷》，了解⼒、热、光、时空的奥秘；学了偏微分⽅程，就可以⽆压⼒阅读《费恩曼物理学讲义第⼆卷》，了解电的奥秘；学了矩阵论，可以买⼀本《计算机视觉中的多视图⼏何》，了解成像的奥秘，编程进⾏图像序列的三维重建；学了概率论的同学应该会听说过贝叶斯学派和频率学派，这两个学派的⼈把战场拉到了机器学习领域，成就了两本经典著作《Pattern Recognition And Machine Learning》和《The Elements of Statistical Learning》，读了它们，我被基础数学为机器学习领域提供的丰硕成果和深刻见解深深折服；读了《Ray Tracing from the Ground Up》，⾃⼰写了⼀个光线追踪器渲染真实场景，它的基础就是⼀点点微积分和矩阵......
⾼等数学的应⽤实在是太多了，如果你喜欢编程，⾃动化、机器⼈、计算机视觉、模式识别、数据挖掘、图形图像、信息论和密码学......到处都有⼤量模型供你玩耍，⽽且只需要⼀点点⾼等数学。在这些
领域，你可能能发现⽐数学书更有趣，也更容易到⼯作的⽬标。
4.6 有趣的书看
数学家写的书有时是⽐较死板的，但是总有⼀些教材，它们的作者有强烈的欲望想向你展⽰"这个东西其实很有趣"，"这个东西完全不是你想的那个样⼦"等等，他们成功了；还有些作者，他们喜欢把⼀个东西在不同领域的应⽤，和不同东西在某⼀领域的应⽤集中展⽰给你看。这样的书会提供给你充⾜的乐趣读下去。典型代表就是国内出版的⼀套《图灵数学统计学丛书》，这⼀套书实在是太棒了，⽐如《线性代数应该这样学》《复分析：可视化⽅法》《微分⽅程、动⼒系统与混沌导论》，个⼈认为都是学数学必读的经典教材，⾮常⾮常有趣。
五、多读书，读好书
如果只有⼀句话概括如何培养数学能⼒，那么就是这⼀句：多读书，读好书。因此这⼀步我想单独拿出来多说两句。
想必⼤家都⼗分精通并能熟练应⽤⼩学数学。想读懂代数⼏何，或者退⼀步，想读懂信息论基础，你就要挑⼏本好的基础教材，最好是外国⼈写的，像掌握⼩学数学那样掌握它。不要只看⼀本，三本不同作者的书，对⽐着看，逐⾏逐字看。有的地⽅肯定看不懂，记下来，说不定在另⼀本书的某个地⽅就从另⼀个⾓度说到了这个东西。
如果你以后还要往后学，现在看到的每⼀个基础定理，以后还会⽤到。
每⼀本基础书，你今天放弃，明天还要乖乖重头再来。
要像读经⽂⼀样，交叉阅读对⽐不同教材内容的异同。
5.1. 推荐教材（其实就是我读过的觉得好的书）：
第⼀级：
《线性代数应该这样学》
卓⾥奇《数学分析（两册）》（读英⽂版吧，不难。有知友说这个还是不太简单，那你可以先看个国内教材，然后回过头来再看这个）
复旦⼤学《概率论》
第⼆级：
芒克⾥斯《拓扑学》
图灵丛书的⼀些分册
柯斯特利⾦《代数学引论》
Vapnik《统计学习理论的本质》
Rudin《数学分析原理》
Rudin《泛函分析》
Gamelin《复分析》
彭家贵《微分⼏何》
Cover《信息论基础》
第三级：
《微分流⾏与黎曼⼏何》
《现代⼏何学，⽅法与应⽤》三卷
5.2. 阅读⼀些科普教材
《数学是什么》
《⾼观点下的初等数学》
《巴赫、埃舍尔、哥德尔》
《e的故事》
5.3. 阅读各个领域最有趣、最活泼、最让你长知识、最重视应⽤、⽂笔最易懂的教材和书籍
《费恩曼物理学讲义》三册
《混沌与分形：科学的新疆界》
《微分⽅程、动⼒系统与混沌导论》
《复分析：可视化⽅法》
最后想说，数学是⼀个⽆底洞，会消耗掉你宝贵的青春。⼀⽆所知的你可能励志搞懂现代数学，但是多会半途却步，同时剩下的时间⼜不够精通另⼀门科学。⽽且即使你精通纯数学，没有⼏篇好⽂章也并不容易⼯作。
我的建议是在阅读数学的过程中开拓眼界，纯数学和应⽤数学学科都看看，到感兴趣、应⽤⼴泛、⼯作好（来钱）的⽅向再⼀猛扎下去成为你的事业。⽐如数学扎实，编程能⼒也强的⼈就很有前途。
编辑于 2014-07-01
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