全国百强名校2024学年高三第一次高考模拟统一考试数学试题
请考生注意：
1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分ACB ∠，若CB a =，CA b =，2a =，1b =，则CD =（    ） A ．2133a b + B ．1
233a b + C ．3455a b + D ．4355
a b + 2．已知复数z 满足(1)43z i i +=-，其中i 是虚数单位，则复数z 在复平面中对应的点到原点的距离为（    ）
A ．52
B ．522
C ．52
D ．54
3．已知函数
，其中04?,?04b c ≤≤≤≤，记函数满足条件：(2)12{(2)4f f ≤-≤为事件A ，则事件A 发生的概率为
A ．14
B ．58
C ．38
D ．
12 4．复数z 满足()11i z i +=-，则z =（    ）
A ．1i -
B ．1i +
C ．2222i -
D ．2222
i + 5．已知函数21,0()ln ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩
，则方程[]()3f f x =的实数根的个数是（    ） A ．6 B ．3 C ．4 D ．5
6．做抛掷一枚骰子的试验，当出现1点或2点时，就说这次试验成功，假设骰子是质地均匀的.则在3次这样的试验中成功次数X 的期望为（    ）
A ．
B ．
C ．1
D ．2
7．已知命题p ：“a b >”是“22a b >”的充要条件；:q x ∃∈R ，|1|x x +≤，则（    ）
A ．()p q ⌝∨为真命题
B ．p q ∨为真命题
C ．p q ∧为真命题
D ．()p q ∧⌝为假命题
8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（  ）
A ．24π+
B ．24π-
C ．242π-
D ．243π-
9．已知ABC ∆中内角,,A B C 所对应的边依次为,,a b c ，若2=1,7,3a b c C π+==，则ABC ∆的面积为（
）
A ．332
B ．3
C ．33
D ．23
10．下列图形中，不是三棱柱展开图的是（    ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11．函数()1
ln 1y x x =-+的图象大致为(    )
A ．
B ．
C ．
D ．
12．在ABC ∆中，D 为BC 中点，且1
2AE ED =，若BE AB AC λμ=+，则λμ+=（    ）
A ．1
B ．2
3- C ．13- D ．3
4-
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知正实数,x y 满足1xy =，则()()x y y x y x ++的最小值为    ． 14．已知数列{}n a 递增的等比数列，若2312a a +=，1427a a =，则n a =______.
15．已知在△ABC 中，AB =（2sin 32°，2cos 32°），BC =（cos 77°，﹣cos 13°），则AB ⋅BC =_____，△ABC 的面积为_____．
16．甲、乙两人同时参加公务员考试，甲笔试、面试通过的概率分别为45和34；乙笔试、面试通过的概率分别为23和12
．若笔试面试都通过才被录取，且甲、乙录取与否相互独立，则该次考试只有一人被录取的概率是__________． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在四棱锥P ABCD -中，1,//,,2
AB PA AB CD AB CD PAD ⊥=
△是等边三角形，点M 在棱PC 上，平面PAD ⊥平面ABCD ．
（1）求证：平面PCD ⊥平面PAD ；
（2）若AB AD =，求直线AM 与平面PBC 所成角的正弦值的最大值；
33岁学霸第12次高考（3）设直线AM 与平面PBD 相交于点N ，若AN PM AM PC =，求AN AM
的值． 18．（12分）如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，//EF AC ，1EF =，060ABC ∠=，CE ⊥平面ABCD ，3CE =，2CD =，G 是DE 的中点.
（Ⅰ）求证：平面//ACG 平面BEF ；
（ⅠⅠ）求直线AD 与平面ABF 所成的角的正弦值.
19．（12分）已知直线1l ：y x b =+与抛物线2:2(0)C y px p =>切于点P ，直线2l ：2210x my m --+=过定点Q ，
且抛物线C 上的点到点Q . （1）求抛物线C 的方程及点P 的坐标；
（2）设直线2l 与抛物线C 交于(异于点P )两个不同的点A 、B ，直线PA ，PB 的斜率分别为12k k 、，那么是否存在实数λ，使得12k k λ+=？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.
20．（12分）已知函数()(2)ln(1)()f x x x ax a R =++-∈
（Ⅰ）若1a =，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；
（Ⅱ）若()0f x ≥在[)0,+∞上恒成立，求实数a 的取值范围；
（Ⅲ）若数列{}n a 的前n 项和231n S n n =+-，4n n
b a =，求证：数列{}n b 的前n 项和ln(1)(2)n T n n <++. 21．（12分）语音交互是人工智能的方向之一，现在市场上流行多种可实现语音交互的智能音箱.主要代表有小米公司的“小爱同学”智能音箱和阿里巴巴的“天猫精灵”智能音箱，它们可以通过语音交互满足人们的部分需求.某经销商为了了解不同智能音箱与其购买者性别之间的关联程度，从某地区随机抽取了100名购买“小爱同学”和100名购买“天猫精灵”的人，具体数据如下：
（1）若该地区共有13000人购买了“小爱同学”，有12000人购买了“天猫精灵”，试估计该地区购买“小爱同学”的女性比购买“天猫精灵”的女性多多少人？
（2）根据列联表，能否有95%的把握认为购买“小爱同学”、“天猫精灵”与性别有关？
附：()()()()()
2
2n ad bc K a b c d a c b d -=++++
22．（10分）已知函数()x f x e ax =+，()ln x
g x e x =. （1）若对于任意实数0x ≥，()0f x >恒成立，求实数a 的范围；
（2）当1a =-时，是否存在实数[]01,x e ∈，使曲线C ：()()y g x f x =-在点0x 处的切线与y 轴垂直？若存在，求出0x 的值；若不存在，说明理由.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、B
【解题分析】
由CD 平分ACB ∠，根据三角形内角平分线定理可得
BD CB DA CA
=，再根据平面向量的加减法运算即得答案. 【题目详解】 CD 平分ACB ∠，根据三角形内角平分线定理可得
BD CB DA CA
=， 又CB a =，CA b =，2a =，1b =，
2,2BD BD DA DA ∴=∴=. ()
22123333CD CB BD CB BA a b a a b ∴=+=+=+-=+. 故选：B .
【题目点拨】
本题主要考查平面向量的线性运算，属于基础题.
2、B
【解题分析】
利用复数的除法运算化简z, 复数z 在复平面中对应的点到原点的距离为||,z 利用模长公式即得解.
【题目详解】
由题意知复数z 在复平面中对应的点到原点的距离为||,z

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