2020上教师资格笔试科目三之中学参考答案
（数学）
第四章
巩固练习
一、单项选择题
1．【答案】C ．解析：如图，设动圆P 的半径为R
，
当圆B 的半径r ∈（0，1）时，|PA |＝R +1，|PB |＝R ﹣r ，|PA |﹣|PB |＝r +1＜2，动点P 的轨迹为双曲线右支；当圆B 的半径r ∈（3，+∞）时，|PA |＝R ﹣1，|PB |＝r ﹣R ，|PA |+|PB |＝r ﹣1＞2，动点P 的轨迹为椭圆．
∴动圆的圆心P 的轨迹是椭圆或双曲线的一支．故选：C ．
2．【答案】A ．解析：若要在0x =出连续，则需要左极限等于右极限等于函数值，
0sin ln(1)
lim 1lim x x x x k x x
-
+→→+===,1k =，故选：A ．
3．【答案】B ．解析：由题意可知，所求面积是
y=
在区间[0，a]上的积分，
即
⎰
=32
203a x =3223a =2a ，所以12a =23，a=49
．故选：B ．
4．【答案】B ．解析：20lim 21cos x x x
→=-，所以1cos x -与2
x 是同阶无穷小，220lim 1ln(1)x x x →=+，所以2ln(1)x +与2x 为等价无穷小，故选：B ．
5．【答案】C ．解析：由于22sin()1na n n ≤，而2
1
1
n n ∞
=∑
收敛，
所以收敛．
但
发散，则
2
1
sin()n na n ∞
=⎡-⎢⎣∑
发散，故选：C ．6．【答案】A ．解析：得到二次型的矩阵为1140102t t ⎛⎫
⎪
⎪ ⎪⎝⎭
，为使其为正定，各阶顺序主子式
应满足：110D =>，221404
t D t t
=
=->，2311
40420102
t D t t ==->，故
当t <<；时，二次型正定．故选：A ．
7．【答案】A
．解析：
2t =
21
2tan 2arctan 2arctan (1tan )
d t t C C t =+=+⎰
．故选：A ．
8．【答案】B ．解析：22'1x
f x x =+（
），
0(1)(1)lim '(1)1x f x f f x
∆→+∆-==∆．故选：B ．9．【答案】A ．解析：
22111ln 1ln ln ln e
e dx d x e x x x x +∞
+∞+∞⎡⎤==-=⎢⎥⎣⎦
⎰
⎰．故选：A ．10．【答案】B ．解析：方法一，因为曲面方程为：曲面22222430x y z x y z ++-+--=，
∴222,,2243F x y z x y z x y z =++-+--（），,,22x F x y z x =-（），,,22y F x y z y =+（），z ,,24F x y z z =-（），3,-2,44x F =（），3,-2,4-2y F =（），z 3,-2,4
4F =（），所以在点(3，-2，4)处，n=(4，-2，4)是法线的一个方向向量．由此可得球面在点(3，-2，4)处的切平面方程为4(x-3)-2(y+2)+4(z-4)=0，即2x-y+2z=16．故选：B ．
方法二：曲面22222430x y z x y z ++-+--=的球面．标准方程为：
222(1)(1)(1)9x y z -+++-=，
球心为（1，-1，2），半径为3．在A 、B 、C 、D 四个选项中，只有B 、C 过点（3，-2，4）．故排除A 、D ．同时球心到切平面的距离应该等于球的半径，选项B ，球心到平面2x-y+2z=16的距
离为3g d =
，等于球半径，满足题意．故选：B ．
11．【答案】B ．解析：A ．由于不知道P （A ）或P （B ）是否为零，因此选项A 不一定成立．
B ．()()()()()()P A B
C P AC P BC P ABC P AC P BC -=⎣+=++⎡⎤⎦，
()()()
()()|||P A B C P A B C P C A P B C P C ⎡⎤⎣⎦
+⎡⎤⎣⎦++=
=，选项B 正确．
C ．()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC ---+++=++，由于不能确定()()()P AB P BC P AC 、、的概率是否全为零，因此选项C 不一定成立．
D ．()()()()
(P A B C P AC BC P AC P BC P ABC ⎡⎤-⎣=++⎦+，
而()
()()P AB P ABC P ABC =-，其值是否为零不能判断，因此选项D 不一定成立．
12．【答案】C ．解析：设A 为任意阶矩阵，若或者T AA E =（E 为单位矩阵），则称A 为正交矩阵．选项C ：⎥⎦⎤⎢
⎣⎡111-1⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡200211-11，结果不是单位矩阵．故选：C ．13．【答案】C ．解析：设任意点1F ()x y ，，易得1F 关于y ＝－x 的对称点为()2
,F y x --．
设该题所求矩阵为11
122122a a a a ⎛⎫
⎪⎝⎭，可列式11
122122a a y x a a x y -⎛⎫⎛⎫⎛⎫
= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
⎝⎭，得1112111221222122
0,11,0y a x a y a a x a x a y a a -=+==-⎧⎧⇒⎨⎨-=+=-=⎩⎩，即所求矩阵为0110-⎛⎫
⎪-⎝⎭，故选：C ．
14．【答案】D ．解析：因为秩()3r A =，故行列式||0A =，可解得3,k =-或1k =，当1
k
=时，1
111111*********A ⎛⎫
⎪
⎪
= ⎪
⎪
⎝⎭
，秩()1r A =，不合题意，故3k =-．故选：D ．
15．【答案】C ．
解析：22||11||()2n n n a u a n n =
<≤+，因为22111()2n n a n
∞
=+∑收敛，
所以
1
n ∞
=
1
(1)n
n ∞
=-∑绝对收敛．故选：C ．
16．【答案】B ．解析：因为x 在（0，2）中变化时，2
y x =为单调函数，从而可直接用公
式法得'
1()42Y
f y y ==<<，故选：B ．17．【答案】A ．解析：因为()f x 为（﹣l ，l ）内的奇函数，所以(-)-()f x f x =，所以0
0(-)(-)(-)()
(-)=lim lim x x f x x f x f x x f x f x x x
∆→∆→+∆-+∆+'=∆∆=00-(-)()(-)-()
lim
=lim =()-x x f x x f x f x x f x f x x x
∆→∆→∆+∆'∆∆，即(-)=()f x f x ''，故选：A ．
18．【答案】B ．解析：因为AB=I ，所以I 是6×6的矩阵，所以6r A =（），6r B =（），故选：B ．
19．【答案】C ．解析：因为2AB B A E O +++=，所以()()-A E B E E ++=，两边取行列式，用行列式乘法公式得-=1A E B E E ++=，
又因为A E +=20
20202
-100=20-10=-12-1020-1020
002⎡⎤
⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥
⎣⎦
，所以1=-12
B E +，故选：
C ．20．【答案】B ．21．【答案】C ．22．【答案】
D ．二、简答题
1．【答案】见解析．解析：构造辅助函数()()F x xf x =，则()F x 在[,]a b 连续，在(,)a b 内可导，从而()F x 满足拉格朗日中值定理，则在(,)a b 内至少存在一点
ξ
，使得
()()'()F b F a F b a ξ-=-，又'()()'()F x f x xf x =+，所以b ()()
()'()f b af a f f b a
ξξξ-=+-．
2．【答案】（1）证明见解析；（2）（0，-3，0）．
解析：（1）直线1L 和2L 的方向向量分别为12{2,3,4},{1,1,2}s s ==    ，并且它们分别过点(0,3,0),(1,2,2)P Q --，{1,1,2}PQ =    ，直线1L 和2L 共面，即向量量1s  ，2s    ，PQ
共面，
即混合积等于0，
因为234
1
120112
=，故直线1L 和2L 共面．（2）令
3234
x y z t +===①即2,33,4x t y t z t ==-+=，带入2L 中可得2133242
112
t t t --++-==可得0t
=，代回①可得0,3,0x y z ==-=，
故（0，-3，0）为直线1L 和2L 的交点．3．【答案】（1）
53120；（2）20
53
．解析：设i A 表示“取出第i 个箱子”，1,2,3i =，B 表示“取出白球”．于是1231
()()()3
P A P A P A ===
，11(|)5P B A =
，23(|)6P B A =，15
(|)8
P B A =．（1）由全概率公式得3
1
53
()(|)()120
i i i P B P B A P A ==
3 d=
∑；
（2）由贝叶斯公式得22231(|)()20
63(|)53()53120
P B A P A P A B P B ⨯
===．
4．【答案】=4a ．解析：1231231212323x x x x x x x x a
++=⎧⎪
+-=⎨⎪+=⎩有解，等价于：系数矩阵的秩等于增广矩阵的
秩，系数矩阵是111121230A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭111111012012012000⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，()2r A =，增广矩阵
11111213230A a ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭111101220122a ⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪--⎝⎭111101220004a ⎛⎫
⎪→- ⎪ ⎪-⎝⎭
，要使增广矩阵的秩也是
2，则4=0=4a a -，即．
5．【答案】
()
8,6,8-．解析：令
222(,,)4329F x y z x y z =-+-，可以得到
'(,,)8x F x y z x =，'(,,)6y F x y z y =-，'(,,)4z F x y z z =，所以切平面的法向量为
()8,6,4x y z -，将点(1,1,2)代入可以得到切平面的法向量为()8,6,8-．
6．【答案】证明见解析．解析：有积分中值定理
110
()()(),[0,1]
a
f x dx af af a ξξ=≥∈⎰
11()()()()(),[,]
b
a
f x dx b a f b a f a a b ξξ=-≤-∈⎰
于是
0111()()()()a b b
a a f x dx f a f x dx f x dx a
b a b ≥≥≥-⎰⎰⎰故0()()a b
a
a f x dx f x dx
b ≥⎰⎰．
7．【答案】2
2
8'26''21'10x x y y -+-=．
解析：本题考查矩阵下函数的象问题，根据题意用x y '⎡⎤⎢⎥'⎣⎦来表示x y ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，代入方程221x y -=化
简即可．因为x y '⎡⎤⎢⎥'⎣⎦表示x y ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦在D 作用下的象，因此2525'133'x x y x y x y y +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，求解出关于''x y 与的方程组，进而解出x 与y ，再代入方程221x y -=，化解即可．

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