2024届重庆市普通高中高三第三次教学质量检测试题考试数学试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．定义在R 上函数()f x 满足()()f x f x -=，且对任意的不相等的实数[)12,0,x x ∈+∞有
()()1212
0f x f x x x -<-成立，
若关于x 的不等式()()()2ln 3232ln 3f mx x f f mx x --≥--++在[]
1,3x ∈上恒成立，则实数m 的取值范围是（  ） A ．1
ln6,126e ⎡⎤+⎢
⎥⎣⎦
B ．1
ln3,126e ⎡⎤+⎢
⎥⎣⎦
C ．1
ln3,23e ⎡⎤
+
⎢⎥⎣⎦
D ．1
ln6,23e ⎡⎤
+
⎢⎥⎣⎦
2．执行如下的程序框图，则输出的S 是（    ）
A ．36
B ．45
C ．36-
D ．45- 3．用数学归纳法证明，则当时，左端应在
的基础上加上（    ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4．在关于x 的不等式2210ax x ++>中，“1a >”是“2210ax x ++>恒成立”的（    ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
5．已知复数z 满足()11z i i +=-（i 为虚数单位），则z 的虚部为（    ）
A ．i -
B ．i
C ．1
D ．1-
6．己知函数()()1,0,ln ,0,kx x f x x x ->⎧=⎨--<⎩
若函数()f x 的图象上关于原点对称的点有2对，则实数k 的取值范围是（    ）
A ．(),0-∞
B ．()0,1
C ．()0,∞+
D ．10,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭
7．用一个平面去截正方体，则截面不可能是（    ） A ．正三角形
B ．正方形
C ．正五边形
D ．正六边形
8．已知集合2
{|1}A x x =<，{|ln 1}B x x =<，则 A ．{|0e}A B x x =<< B ．{|e}A B x x =< C ．{|0e}A B x x =<<
D ．{|1e}A
B x x =-<<
9．已知集合{}1,0,1,2A =-，{}|lg(1)B x y x ==-，则A B =（    ）
A ．{2}
B ．{1,0}-
C ．{}1-
D ．{1,0,1}-
10．已知i 为虚数单位，实数,x y 满足(2)x i i y i +=-，则||x yi -= (  ) A ．1
B ．2
C ．3
D ．5
11．如图，点E 是正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱DD 1的中点，点F ，M 分别在线段AC ，BD 1（不包含端点）上运动，则（    ）
A ．在点F 的运动过程中，存在EF //BC 1
B ．在点M 的运动过程中，不存在B 1M ⊥AE
C ．四面体EMAC 的体积为定值
D ．四面体FA 1C 1B 的体积不为定值 12．51
(1)x x
-+展开项中的常数项为 A ．1
B ．11
C ．-19
D ．51
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．函数(
)ln 32
x x
y =-的定义域为______.
14．在△ABC 中，(AB AC λ-)⊥BC (λ＞1)，若角A 的最大值为
6
π
，则实数λ的值是_______． 15．已知向量()1,1a =，()2,b m =-，若()
2//a b b -，则实数m =______.
16．若方程()0,1x
a x a a =>≠有两个不等实根，则实数a 的取值范围是_____________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）团购已成为时下商家和顾客均非常青睐的一种省钱、高校的消费方式，不少商家同时加入
多家团购网.现恰有三个团购网站在A 市开展了团购业务，A 市某调查公司为调查这三家团购网站在本市的开展情况，从本市已加入了团购网站的商家中随机地抽取了50家进行调查，他们加入这三家团购网站的情况如下图所示.
（1）从所调查的50家商家中任选两家，求他们加入团购网站的数量不相等的概率；
（2）从所调查的50家商家中任取两家，用ξ表示这两家商家参加的团购网站数量之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列和数学期望；
（3）将频率视为概率，现从A 市随机抽取3家已加入团购网站的商家，记其中恰好加入了两个团购网站的商家数为η，试求事件“2η≥”的概率.
18．（12分）诚信是立身之本，道德之基，我校学生会创设了“诚信水站”，既便于学生用水，又推进诚信教育，并用“
周实际回收水费
周投入成本
”表示每周“水站诚信度”，为了便于数据分析，以四周为一周期，如表为该水站连续十二周（共三个
周期）的诚信数据统计：  第一周
第二周
第三周
第四周
第一周期 95%
98%
92% 88% 第二周期 94%
94%
3 d83%
80%
第三周期
85% 92% 95%
96%
（Ⅰ）计算表中十二周“水站诚信度”的平均数x ；
（Ⅱ）若定义水站诚信度高于90%的为“高诚信度”，90%以下为“一般信度”则从每个周期的前两周中随机抽取两周进行调研，计算恰有两周是“高诚信度”的概率；
（Ⅲ）已知学生会分别在第一个周期的第四周末和第二个周期的第四周末各举行了一次“以诚信为本”的主题教育活动，根据已有数据，说明两次主题教育活动的宣传效果，并根据已有数据陈述理由. 19．（12分）在直角坐标系中，直线l 过点()1,2P ，且倾斜角为α，0,.2πα⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()2
2
3sin 12ρ
θ+=．
()1求直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程，并判断曲线C 是什么曲线； ()2设直线l 与曲线C 相交与M ，N 两点，当2PM PN
⋅=，求α的值．
20．（12分）在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为6cos sin x y α
α
⎧=⎪⎨=⎪⎩（α是参数），以原点O 为极点，x 轴的正半
轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 24πρθ⎛⎫
-
= ⎪⎝
⎭
. （1）求直线l 与曲线C 的普通方程，并求出直线的倾斜角；
（2）记直线l 与y 轴的交点为,Q M 是曲线C 上的动点，求点,M Q 的最大距离. 21．（12分）若0,0a b >>，且
11
ab a b
+= （1）求33+a b 的最小值；
（2）是否存在,a b ，使得236a b +=？并说明理由.
22．（10分）如图，在四棱锥S ABCD -中，平面SAD ⊥平面ABCD ，1SD =，5
cos 5
ASD ∠=，底面ABCD 是边长为2的菱形，点E ，F 分别为棱DC ，BC 的中点，点G 是棱SC 靠近点C 的四等分点.
求证：（1）直线SA
平面EFG ；
（2）直线AC ⊥平面SDB .
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．B 【解析】
结合题意可知()f x 是偶函数，且在[
)0,+∞单调递减，化简题目所给式子，建立不等式，结合导函数与原函数的单调性关系，构造新函数()(),h x g x ，计算最值，即可. 【详解】
结合题意可知()f x 为偶函数，且在[
)0,+∞单调递减，故
()()()2ln 3232ln 3f mx x f f mx x --≥--++可以转换为
()()2ln 33f mx x f --≥对应于[]1,3x ∈恒成立，即2ln 33mx x --≤
即02ln 6mx x ≤-≤对[]
1,3x ∈恒成立
即ln 6ln 22x x m m x x +≥≤且对[]1,3x ∈恒成立 令()ln x g x x =
，则()[)1ln '1,x
g x e x
-=在上递增，在(],3e 上递减, 所以()max 1
g x e =
令()()2
6ln 5ln ,'0x x
h x h x x x +--==<，在[]1,3上递减 所以()min 6ln33h x +=.故1
ln3,126m e ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦
，故选B. 【点睛】
本道题考查了函数的基本性质和导函数与原函数单调性关系，计算范围，可以转化为函数，结合导函数，计算最值，即可得出答案. 2．A 【解析】
列出每一步算法循环，可得出输出结果S 的值. 【详解】
18i =≤满足，执行第一次循环，()1
20111S =+-⨯=-，112i =+=；

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