教师授课教案
日期
学生姓名
性别
年级
学校
授课教师
辅导科目
授课时间
陆春波
教学目标
余弦型函数y=cosx 与 y＝Acos(ωx＋φ)的图象及应用
重难点
1. 余弦型函数y=cosx图像及性质
2. y＝Acos(ωx＋φ)的图象怎么由来
作业评改
完成情况
质量
完成
未完成
优
良
中
差
基础梳理
1．用五点法画y＝cosx一个周期内的简图时，要五个特征点（简称五点法）
如下表所示
X
0
π
2π
Y=cosx
1
0
-1
0
1
2．函数y＝cosx的图象变换得到y＝Acos(ωx＋φ)的图象的步骤
    主要是经过平移与伸缩变化而来
3．当函数y＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x∈[0，＋∞))表示一个振动时，A叫做振幅，T＝叫做周期，f＝叫做频率，ωx＋φ叫做相位，φ叫做初相．
4．图象的对称性
函数y＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象是轴对称也是中心对称图形，具体如下：
(1)函数y＝Acos(ωx＋φ)的图象的对轴轴必过其图像的最高点与最低点．
(2)函数y＝Acos(ωx＋φ)的图象的对称中心是其图像与x轴的交点．
一种方法
在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M，最小值为m，则A＝，k＝，ω由周期T确定，即由＝T求出，φ由特殊点确定．
一个区别
由y＝cos x的图象变换到y＝Acos (ωx＋φ)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是(ω＞0)个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值．
两个注意
作正弦型函数y＝Acos(ωx＋φ)的图象时应注意：
(1)首先要确定函数的定义域；
(2)对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图象时只要作出一个周期的图象，就可根据周期性作出整个函数的图象．
五．习题讲解
1.已知简谐运动f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为(  )．
A．T＝6π，φ＝      B．T＝6π，φ＝
C．T＝6，φ＝      D．T＝6( ) ，φ＝
解析　由题图象知T＝2(4－1)＝6⇒ω＝，由图象过点(1,2)且A＝2，可得sin＝1，又|φ|＜，得φ＝.
答案　C
2．函数y＝cos x(x∈R)的图象向左平移个单位后，得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)的解析式应为(  )．
A．－sin x  B．sin x  C．－cos x  D．cos x
解析　由图象的平移得g(x)＝cos＝－sin x.
答案　A
3．设ω＞0，函数y＝sin＋2的图象向右平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是(  )．
A.  B.  C.  D．3
解析　y＝sin＋2向右平移个单位后得到y1＝sin＋2＝sin＋2，又y与y1的图象重合，则－ω＝2kπ(k∈Z)．
∴ω＝－k.又ω＞0，k∈Z，
∴当k＝－1时，ω取最小值为，故选C.
答案　C
4．(2011·重庆六校联考)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)的图象如图所示，则ω＝________.
解析　由题意设函数周期为T，则＝π－＝，故T＝π.∴ω＝＝.
答案　
 
5.设函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的最小正周期为π，且f＝.
(1)求ω和φ的值；
(2)在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图象．
[审题视点] (1)由已知条件可求ω，φ；
(2)采用“五点法”作图，应注意定义域[0，π]．
解　(1)周期T＝＝π，∴ω＝2，
∵f＝cos＝cos＝－sin φ＝，
∵－＜φ＜0，∴φ＝－.
(2)由(1)知f(x)＝cos，列表如下：
2x－
－
0
π
π
π
x
0
π
π
π
π
f(x)
1
0
－1
0
图象如图：
(1)“五点法”作图的关键是正确确定五个点，而后列表、描点、连线即可．
(2)变换法作图象的关键看x轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用ωx＋φ＝ω来确定平移单位．
【训练1】 已知函数f(x)＝3sin，x∈R.
(1)画出函数f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图；
(2)将函数y＝sin x的图象作怎样的变换可得到f(x)的图象？
解　(1)列表取值：
x
π
π
π
π
x－
0
π
π
2π
f(x)
0
3
0
－3
0
描出五个关键点并用光滑曲线连接，得到一个周期的简图．
(2)先把y＝sin x的图象向右平移个单位，然后把所有的点的横坐标扩大为原来的2倍，再把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到f(x)的图象．
考向二　求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
【例2】►(2011·江苏)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f(0)的值是________．
[审题视点] 由最高、最低点确定A，由周期确定ω，然后由图象过的特殊点确定φ.
解析　由图可知：A＝，＝－＝，所以T＝2kπ＋π，∴φ＝2kπ＋，令k＝0，ω＝＝2，又函数图象经过点，所以2×＋φ＝π，则φ＝，故函数的解析式为f(x)＝sin，所以f(0)＝sin＝.
答案　
解决这类题目一般是先根据函数图象的最高点、最低点确定A，h的值，函数的周期确定ω的值，再根据函数图象上的一个特殊点确定φ值．
【训练 1】 已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，|φ|＜，ω＞0)的图象的一部分如图所示．
(1)求f(x)的表达式；
(2)试写出f(x)的对称轴方程．
【训练 2】►(2012·西安模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(其中A＞0，ω＞0,0＜φ＜)的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上的一个最低点为M.
(1)求f(x)的解析式；
(2)当x∈时，求f(x)的值域．
【训练3】 (2011·南京模拟)已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象过点P，图象上与点P最近的一个最高点是Q.
(1)求函数的解析式；
(2)求函数f(x)的递增区间．
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