第31卷第2期2021年6月
湖南工程学院学报（自然科学版）
Journal of Hunan Institute of Engineering （Natural Science Edition ）
Vol.31No.2
June 2021
收稿日期：2020-12-29
基金项目：湖南省自然科学基金面上项目（2020JJ4242）；湖南省普通高等学校教学改革研究项目（湘教通〔2019〕291号-729）.作者简介：田智鲲（1979-），女，博士，副教授，研究方向：偏微分方程数值解.
通信作者：王建云（1981-），男，博士，讲师，硕士生导师，研究方向：微分方程数值方法及应用.
田智鲲1，王建云2
（1.湖南工程学院计算科学与电子学院，湘潭411104；2.湖南工业大学理学院，株洲412007）reaction diffusion
摘要：针对二维依赖于时间的线性薛定谔方程，在空间方向采用混合有限元方法，时间方向利用
向后欧拉方法，得到一种全离散混合有限元格式.为了将薛定谔方程耦合的实部和虚部解耦，提出了一种全离散混合有限元的两网格算法，将方程在细网格上的求解问题，简化为在一个相对更粗的网格上求解原问题以及在细网格上求解两个泊松方程，从而减小计算工作量，节省计算时间.数值实验结果验证了两网格混合有限元方法的高效性.
关键词：两网格方法；混合有限元；薛定谔方程；向后欧拉方法中图分类号：O241.82文献标识码：A
文章编号：1671-119X （2021）02-0060-04
薛定谔方程向后欧拉全离散两网格混合有限元方法
0引言
薛定谔（Schr ödinger ）方程由奥地利物理学家薛定谔于1926年提出，是量子力学最基本的方程，揭示了原子世界中物质运动的基本规律，主要被用来描述微观粒子运动规律.当微观粒子所处的力场确定后，粒子所处的状态可由薛定谔方程来描述.薛定谔方程在原子、固体物理、非线性媒体中的激光束扫描、核物理、化学等领域中有着广泛的应用.在实际复杂的系统中，由于包含复数且为耦合的问题，其精确解往往不容易求得，因此人们越来越重视求其数值解，常用的数值方法主要有差分法、有限元法、混合元法
、间断有限元法、谱方法、两网格方法等.
两网格方法最初由许进超教授提出，他在文献［1-2］中，针对求解非对称不定椭圆问题以及非线性椭圆问题，引入粗细两个子空间进行离散，构造了一系列的两网格有限元算法，在保持渐近最优逼近的同时，能够提高计算的效率.几乎在同一时期，黄云清教授和陈艳萍教授在文献［3］中，研究了非
线性奇异两点边值问题的多层迭代校正算法，并获
得了收敛性误差估计和逼近解的渐近展式.目前，两网格方法已成功被应用到求解抛物方程、反应扩散方程、渗流驱动方程等，具体见参考文献［4-9］.金继承教授等在文献［10］中首次将两网格方法运用到求解一类耦合的偏微分方程组，构造了解耦的有限元两网格算法.后来两网格有限元方法被应用到求解薛定谔方程，具体见参考文献［11-13］.但是利用两网格混合有限元方法求解薛定谔方程的研究不多，本文考虑一类线性薛定谔方程，在拟一致剖分的三角形网格上，构造一种全离散的两网格混合有限元算法，并通过数值算例来验证该算法的高效性.
1全离散混合有限元格式
考虑如下依赖于时间的线性薛定谔方程的初边值问题
ìíîï
ï
iu t =-Δu +bu +f , 
(x ,y ,t )∈Ω×J ,u =0, 
(x ,y ,t )∈∂Ω×J     u|t =0=u 0, 
(x ,y )∈Ω     （1）
第2期其中Ω⊂R 2为凸多边形区域，J =(0,T ]为时间区间，初始函数u 0(x ,y )右端项函数f (x ,y ,t )及未知函数u (x ,y ,t )都为复函数，势能函数b (x ,y )为已知
的有界实函数.
记W m ,p 为区域Ω上的标准Sobolev 空间，其范
数定义为||φ||p m ,p =∑|α|≤m
D αφp L p
(Ω)
，并且当p =2时，
相应的范数简记为||⋅||=||⋅||0,2.对于任意两个复
函数φ(x ,y ),ψ(x ,y )∈L 2(Ω)，定义其内积为(φ,ψ)=
∫
Ω
φ(x ,y )ψˉ(x ,y )d x d y ，其中ψ
ˉ(x ,y )为复函数ψ(x ,y )的共轭，对应的L 2范数为||φ||=
(φ,φ).
设空间V =H (div ;Ω)={v ∈(L 2(Ω))2,∇⋅v ∈L 2(Ω)}，
W =L 2(Ω).记Γh 为区域Ω上的拟一致三角形网格
剖分，其中网格步长0<h <1，记V h 和W h 分别为V 和W 的离散子空间，且V h 和W h 分别为标准混合
有限元空间，例如k 阶RT 空间［14］或k 阶Brezzi-Doug-las-Marini 空间［15］.记0<Δt <1为[0,T ]上的时间步长，t n =n Δt ,n =0,1,2,⋯为时间节点.为方便起见，我们将函数φ(x ,y ,t n )简记为φn ，并利用向后欧拉方法定义其差商为∂t φn =(φn (x ,y )-φn -1(x ,y ))/Δt .令变量q =∇u ，则问题（1）的变分形式可以定义
为：求(u ,q )∈W ×V 满足
ìí
îï
ï
i (u t ,w )=-(∇⋅q ,w )+(bu ,w )+(f ,w ),
∀w ∈W ,(q ,v )+(u ,∇⋅v )=0, ∀v ∈V .
（2）
时间方向利用向后欧拉方法，则问题（2）的全
离散混合有限元解(u n h ,q n
h )∈W h ×V h 可以定义为满
足如下格式
ìíîïïïïi (u n h -u n -1
h Δt ,w h )=-(∇⋅q n h ,w h )+(bu n
h ,w h )+(f n ,w h ),∀w h ∈W h ,(q n h ,v h )+(u n
h ,∇⋅v h )=0,∀v h ∈V h .
（3）
2两网格混合有限元算法
设W h ×V h 和W H ×V H ⊂W h ×V h 为空间网格步
长分别为h 和H (0<h <<H <1)的拟一致剖分的混合有限元空间.由于在计算过程中薛定谔方程的实部和虚部是耦合在一起的，为了将其实部和虚部进
行解耦，对问题（2）构造一种向后欧拉全离散两网格混合有限元算法，即先在粗网格上对原问题进行求解，然后在细网格上计算时，利用粗网格上已算得的部分数值作为已知数据代入，将薛定谔方程耦合的实部和虚部进行解耦.由于粗网格的尺寸H >>h ，因此该算法比直接在细网格上求解原问题要节省大量的计算时间.第一步：在粗网格ΓH 上，求解(u n H ,q n
H )∈W H ×V H
满足原实部和虚部耦合的方程组
ìíîïïïïi (u n H -u n -1H Δt ,w H )=-(∇⋅q n H ,w H )+(bu n
H ,w H )+(f n ,w H ),∀w H ∈W H (q n H ,v H )+(u n
H ,∇⋅v H )=0,∀v H ∈V H .
（4）
第二步：在细网格Γh 上，求解(U n h ,Q n h )∈W h ×V h
满足下列实部和虚部已经解耦的方程组
ìíîïï
ï
ï(∇⋅Q n
h ,w h )=-i (u n H -u n -1
H Δt ,w h )+(bu n H ,w h )+(f n ,w h ),∀w h ∈W h ,(Q n h ,v h )+(U n
H ,∇⋅v h )=0,∀v h ∈V h .
（5）3数值实验
考虑如下二维依赖于时间的线性薛定谔方程
ìíîï
ï
iu t =-Δu +u +f , 
(x ,y ,t )∈Ω×J , u =0, 
(x ,y ,t )∈∂Ω×J      u|t =0=(1+i )sin(πx )sin(πy ), (x ,y )∈Ω其中Ω=[-1,1]×[-1,1]，J =(0,1]，
右端函数f (x ,y ,t )选择满足如下精确解
u (x ,y ,t )=(1+i )e t sin(πx )sin(πy ).
设ΓH 和Γh 为区域Ω的拟一致三角形网格剖
分，其中空间网格步长分别为H 和h =H 2，利用RT 0
混合有限元进行数值求解，(u n h ,q n h )为细网格Γh 上计
算得到的混合有限元解，(U n h ,Q n h )为粗网格ΓH 和细网格Γh 上得到的两网格混合有限元解.取时间步
长τ=10-3，分别取网格步长h =1/4、1/16、1/64，计
算精确解与混合有限元解的误差  u n -u n h 和
q n -q n h ，
精确解与两网格混合有限元解的误差  u
n
-U n h 和  q n -Q n h ，
误差结果及计算机CPU 运行时间如表1~表8所示.
田智鲲，等：薛定谔方程向后欧拉全离散两网格混合有限元方法61
湖南工程学院学报（自然科学版）2021年表1混合有限元解在t=0.1的误差及时间
h 1/4 1/16 1/64
u n-u n h
4.18e-1
1.02e-1
2.56e-2
q n-q n h
2.38e-0
5.88e-1
1.47e-1
time（s）
0.3
3.8
101.5
表2两网格混合有限元解在t=0.1的误差及时间
H 1/2 1/4 1/8
h
1/4
1/16
1/64
u n-U n h
5.55e-1
1.55e-1
4.02e-2
q n-Q n h
2.51e-0
6.81e-1
1.75e-1
time（s）
0.2
0.4
2.1表3混合有限元解在t=0.2的误差及时间
h 1/4 1/16 1/64
u n-u n h
4.59e-1
1.13e-1
2.83e-2
q n-q n h
1.79e-0
4.36e-1
1.09e-1
time（s）
0.5
7.6
201.6
表4两网格混合有限元解在t=0.2的误差及时间
H 1/2 1/4 1/8
h
1/4
1/16
1/64
u n-U n h
5.97e-1
1.68e-1
4.35e-2
q n-Q n h
2.56e-0
7.14e-1
1.85e-1
time（s）
0.3
0.6
2.8表5混合有限元解在t=0.5的误差及时间
h 1/4 1/16 1/64
u n-u n h
6.14e-1
1.53e-1
3.82e-2
q n-q n h
2.38e-0
5.88e-1
1.47e-1
time（s）
1.1
18.7
501.6
表6两网格混合有限元解在t=0.5的误差及时间
H 1/2 1/4 1/8
h
1/4
1/16
1/64
u n-U n h
7.00e-1
1.91e-1
4.92e-2
q n-Q n h
2.86e-0
7.84e-1
2.03e-1
time（s）
0.5
1.2
5.1
表7混合有限元解在t=1.0的误差及时间
h
1/4
1/16
1/64
u n-u n h
9.98e-1
2.51e-1
6.29e-2
q n-q n h
3.86e-0
9.68e-1
2.42e-1
time（s）
2.1
36.6
1005.6
表8两网格混合有限元解在t=1.0的误差及时间
H
1/2
1/4
1/8
h
1/4
1/16
1/64
u n-U n h
1.03e-0
2.68e-1
6.74e-2
q n-Q n h
4.07e-0
1.05e-0
2.63e-1
time（s）
0.8
2.1
8.8
从表1~表8的数值结果可以看出，两网格混合
有限元解的误差与标准混合有限元解的误差非常
接近，通过对比两种方法的计算机CPU运行时间，
可以看出两网格算法的计算效率更高，并且随着空
间网格的加密，计算规模将不断增大，两网格算法
的优势将更加明显.
4结语
本文研究了两网格方法在求解线性薛定谔方
程中的应用，先得到一种向后欧拉全离散混合有限
元格式，然后构造了一种两网格算法，并说明了两
网格算法在求解线性薛定谔方程中的思想，最后利
用RT0混合有限元进行了数值计算，实验结果验证
了该算法的高效性.
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Two-Grid Methods of Backward Euler Fully Discrete Mixed Finite
Element for Schrödinger Equations
TIAN Zhi-kun1，WANG Jian-yun2
（1.School of Computational Science and Electronics，Hunan Institute of Engineering，Xiangtan411104，China；
2.College of Science，Hunan University of Technology，Zhuzhou412007，China）
Abstract：For the two-dimensional time-dependent linear Schrödinger equation，a fully discrete mixed finite element scheme is obtained by mixed finite element method in space in conjunction with backward Euler method in time.A two-grid algorithm of fully discrete mixed finite element is proposed to decouple the real part and imaginary part of the Schrödinger equation.With this method，the problem of solving the Schröding-er equation on the fine grid is reduced to solving the original problem on a relatively coarse grid and solving two Poisson equations on the fine grid so as to reduce the calculation workload and save the calculation time. The numerical experiment results verify the efficiency of the two-grid mixed finite element method. Keywords：two-grid methods；mixed finite element；Schrödinger equations；backward Euler method
田智鲲，等：薛定谔方程向后欧拉全离散两网格混合有限元方法63

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