带有交叉扩散项的捕食-食饵模型的全局分歧
张晓晶;容跃堂
【摘 要】文章研究了一类带有交叉扩散的捕食‐食饵模型在齐次Dirichlet边界条件下正解的存在性，借助Crandall‐Rabinowitz分歧理论，得出局部分歧正解的存在性，并将局部分歧延拓为全局分歧，得到正解存在的充分条件，从而给出捕食者与食饵在一定条件下可以共存的结构。%The existence of positive solutions for a predator‐prey model with cross‐diffusion under hom‐ogeneous Dirichlet boundary conditions is studied .Based on the Crandall‐Rabinowitz bifurcation theo‐ry ,positive solutions emanating from the semi‐trivial solutions are derived .Finally ,the local bifurca‐tion solution is developed to the global one ,thus obtaining the sufficient conditions of positive solu‐tions .It is show n that the predator and the prey can coexist under certain conditions .
【期刊名称】《合肥工业大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2015(000)002
【总页数】6页(P264-269)
【关键词】捕食-食饵模型;交叉扩散;全局分歧
【作 者】张晓晶;容跃堂
【作者单位】西安工程大学理学院，陕西西安 710048;西安工程大学理学院，陕西西安 710048
【正文语种】中 文
【中图分类】O175.26
0 引 言
通过建立数学模型来描述生物系统的特性是数学应用领域的一个重要组成部分，捕食－食饵模型是数学模型的有机组成，吸引了众多学者的关注，并取得了许多研究结果［1－4］。
文献［5－6］提出了带有B－D功能反应函数的捕食系统：
reaction diffusion
其中，u、v分别表示食饵与捕食者的种密度。引入无量纲参数：
并考虑到空间的不均匀分布，模型可化为如下反应扩散系统：
在经典的反应扩散方程中，种扩散往往是因为种的随机移动，然而在某些生态系统中，种间的相互影响在种扩散中也起着非常重要的作用，因此本文考虑一类带有交叉扩散项的捕食－食饵模型：
其中，Ω为Rn中的有界开区域，且边界∂Ω充分光滑；u、v分别为食饵和捕食者的密度；参数a、c、d均为正常数；m为非负常数；b可正可负，b＞0表示捕食者有其他的食物来源。
对无交叉扩散情形，文献［7］通过计算不动点的指标和特征值的性质得到正解的存在性与唯一性。本文讨论带有交叉扩散的情况，给出了局部分歧解的存在性，并将局部分歧延拓为整体分歧。
1 分歧正解的存在性
与系统（4）式对应的平衡态问题为：
对于问题（5）式的解（u，v），若在Ω中u＞0，v＞0，则称它为正解，相应的称（0，0）为平凡解。如果（u，v）中只有1个分量为0，则称它为半平凡解。考虑特征值问题：
引理1 设q（x）∈C），p为常数，则问题（6）式的所有特征值满足λ1（p，q）＜λ2（p，q）≤λ3（p，q）≤…→∞，相应的特征函数为φ1，φ2，…。
由文献［8］知λi（p，q）是简单的，且关于p和q（x）均严格单调递增，简记λi（1，q）为λi（q），λi（0）为λi。
考虑单个方程：
由文献［8］知：若a≤λ1（q（x）），则u＝0是方程（7）式的唯一非负解；而当a＞λ1（q（x））时，方程（7）式存在唯一正解。当q（x）＝0，a＞λ1 时，把这个唯一正解记为θa。特别地，θa关于a严格单调递增，连续可微，且对任意x∈Ω，0＜θa＜a，引入新函数：
则（u，v）≥0和（U，V）≥0之间存在一一对应关系，那么（5）式等价于半线性椭圆系统：
其中，u、v为（U，V）的函数。显然（9）式存在平凡解（0，0）。此外，若a＞λ1，则（9）
式存在半平凡解（θa，0）；若b＞λ1，则（9）式存在半平凡解（0，θb）。令C0）＝｛U∈C（）：U｜∂Ω＝0｝，并定义算子Law＝－Δw－（a－2θa）w，w∈C2（Ω）∩C0）。易知，算子La的所有特征值都是正的，这就说明La可逆。
引理2 设b＞max｛λ1 ，d／β｝ ，则存在唯一的a＝a＊（b）∈（λ1，∞），满足：
且a＝a＊（b）关于b严格单调递增。
证明 令
显然A（λ1，b）＝λ1（－b）＝λ1－b＜0。由于当a→∞时θa→∞，从而有。
经计算得：
由于b＞d／β，且有q→λ1（q）：C）→R和a→θa：［λ1，∞）→C2（Ω）∩C0）均严格单调递增，从而可知A（a，b）关于a严格单调递增，因此存在唯一的a＝a＊（b）＞λ1，使得A（a＊（b），b）＝0。
等式A（a＊（b），b）＝0两边关于b求导得Aa（a＊ （b），b）·a′＊ （b）＋Ab（a＊ （b）
，b）＝0，由于Ab（a，b）＜0，结合Aa（a，b）＞0知a′＊ （b）＞0，即a＝a＊（b）关于b严格单调递增。
类似可证明下面的引理3。
引理3 设b＞λ1，则存在唯一的a＝a＊（b）
使得，且a＝a＊（b）关于b严格单调递增。
设b＞λ1，由引理2知，存在唯一的a＊＞λ1使得，设 ≥0满足：ψ＊
另一方面，由引理3知，存在唯一的a＊＞λ1使得。不妨设 满足：φ＊
记｝，｝，定义中的范数为通常的Banach空间中的范数，令），则X是Banach空间。
以a为分歧参数，利用Crandall－Rabinowitz局部分歧定理，给出问题（9）式发自半平凡解（θa，0）和（0，θb）的局部分歧正解的存在性。
令
其中，u、v均为（U，V）的函数。
将（9）式在（U，V）＝（θa，0）处 Taylor展开可得：

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