《宁夏电力》2016年第6期
基于改进纵横交叉算法的多目标无功优化
黄海涛，魏明磊，谢海波，朱兴旺
（广东工业大学自动化学院，广东广州510006）
摘要：针对有功网损、电压偏差和静态电压稳定裕度的多目标无功优化问题．提出了一
种用于多目标的改进纵横交叉算法。该算法采用纵向和横向两个不同方向的搜索机制，摒弃
基础纵横交叉算法的竞争算子。在纵向交叉后采用目标序列排序建立虚拟个体适应度，再对
粒子虚拟适应度大小进行比较选择精英粒子，而横向交叉之后不进行粒子比较。与传统的
NSGA-II相比，该算法能够使粒子在收敛的过程跳出局部最优，提高粒子多样性，同时提高效
率。最后引进非支配选择和拥挤距离计算，产生Pareto前沿。通过和NSGA-II在IEEE14节点
系统、IEEE57节点系统多目标无功优化上仿真对比，结果验证了所提方法收敛精度更高，其
Pareto前沿分布更加均匀，范围更加广泛，能够很好的解决电力系统多目标无功优化问题。
关键词：电力系统；多目标；无功优化；纵横交叉算法；非支配排序；Pareto
中图分类号：TM713文献标志码：A文章编号：1672-3643（2016）06-0019-08
有效访问地址：/10.3969/j.issn.1672-3643.2016.06.004
Multi－objective reactive power optimization based on modified
crisscross optimization algorithm
HUANG Haitao，WEI Minglei，XIE Haibo，ZHU Xingwang
(School of Automation，Guangdong University of Technology，Guangzhou510006，China) Abstract:In allusion to multi-objective reactive power optimization with active power loss，voltage
deviation and static voltage stability margin，an improved algorithm of crisscross optimization
algorithm is proposed．The improved algorithm retains the search mechanism of vertical cross and
horizontal cross in the original algorithm．After the vertical cross，instead of utilizing the competitive
operator,the improved algorithm choose the elitist particle by establishing virtual individual fitness
based on the rule of target sequence sorting.While the horizontal cross is without this operation．Compared with the traditional NSGA-II，the algorithm can make the particle in the process of
convergence to jump out of the local optimum，improve the diversity of particles and the efficiency of
the algorithm．Finally，Producing Pareto frontier by introducing non-dominated selection and
crowding distance calculation．Compared with the simulation result of NSGA-II in multi objective
IEEE14node system and IEEE57node system reactive power optimization，It shows that the
基金项目：广东省自然科学基金资助项目（S2013040013776）。
收稿日期：2016-09-04
作者简介：黄海涛（1988），男，硕士研究生，主要研究方向为智能算法在电力系统中的应用。
·19
·
随着电力系统规模的不断扩大以及系统运行稳定性和经济性的要求越来越高，如何通过优化电力系统来降低网损和提高电压的稳定性越来越受到业内人士的重视，而多目标无功优化就是指在满足系统约束条件的情况下，通过对发电机端电压、变压器分接头及无功补偿设备投切的调节来达到降低网损，提高电压质量，同时提高电网运行的稳定性和可靠性的目的。
1存在问题及分析
事实上，无功优化是典型的混合非线性规划问题，具有非线性、多变量、多约束条件等特点。目前，对于无功优化的求解主要有常规优化方法和现代人工智能优化方法2种。常规优化方法有线性规划法［1-2］、非线性规划法［3-4］。现代人工智能优化方法有遗传算法［5-10］、粒子算法［11-15］、免疫算法［16-18］，而最新发展起来的多目标遗传算法（NSGA-II）一次运行可以得到多个Pareto最优解，方便专家在实际运行中根据不同要求选取不同的解。但是采用NSGA-II对系统进行多目标无功优化时会出现以下几个问题：
（1）NSGA-II容易陷入局部收敛和早熟，收敛精度不够，不能够适应当今电力系统快速发展的要求。
（2）NSGA-II不能够有效地跳出局部最优，该算法仿真出来的多个最优解分布不够广泛，不够均匀。
（3）基于遗传算法的NSGA-II采用遗传算法的机制对目标进行优化，该算法运行效率不高，且稳定性也不能够满足多目标无功优化的要求。
NSGA-II之所以出现上述问题主要是在算法中采用了搜索能力不强的遗传算法机制，而新发展起来的纵横交叉算法（Crisscross Optimization Algorithm，CSO）［19-21］通过纵向和横向2种交叉搜索机制来更新种，具有强大的全局搜索性能，可防止种陷入早熟收敛。虽然该算法在电力系统的各个领域已有相应的运用，但是目前纵横交叉算法只能用于单目标优化问题上，无法解决实际电力系统中多目标无功优化问题。基于上述原因，寻一种全新的算法来更好地解决电力系统多目标无功优化的问题就显得极为迫切和必要。
2解决方案
本文通过建立目标排序的方法建立个体虚拟适应度，通过对个体虚拟适应度大小的比较来代替基础纵横交叉算法中的竞争算子，同时通过引入非支配排序和拥挤距离计算，产生Pareto前沿，不但能够解决纵横交叉算法只能运用于单目标的目标函数问题，同时能够保持该算法纵横向两种不同的搜索机制，可以使目标函数跳出最优解，不易陷入局部最优，同时提高目标函数收敛精度。
2.1建立多目标无功优化模型
本文将系统有功网损最小，电压偏移最小和电压稳定裕度最大作为无功优化的目标，为了便于统一，对电压稳定裕度取负值。同时对无功优化变量进行约束，采用随迭代次数指数递增的可变罚函数对约束变量进行控制，使变量在约束条件范围之内。
2.1.1目标函数
将系统有功网损最小，电压偏移最小和电压稳定裕度最大作为无功优化的目标
ì
í
î
ï
ï
ïï
ï
ï
ïï
min f1=P loss=∑k=1N L G k(i,j)[]
V2
i+V2j-2V2i V2j cosδij min f2=dV=∑i=1N PQéëêùûú
Vi-V spec
i
V
i max-V i min
2
min f3=-V SM=-δmin
（1）
proposed method is higher convergence precision，the Pareto front distribution is more uniform，more wide to solve multi-objective reactive power optimization problem of power system．
Keywords:power system；multi objective；reactive power optimization；crisscross optimization algorithm；non-dominated selection；Pareto
DOI：10.3969/j.issn.1672-3643.2016.06.004
·
·20
式中：N L ，N PQ —系统总支路数和负荷PQ 节点数；
G k (i ,j )—支路k 电导；
V 2i ，V 2j ，δmin —分别为支路k 两端节点的电
压幅值及其相位角；V min ，V max —分别为节点i 的电压上、下限，V spec
i
为电压的期望值；
δmin —收敛潮流的雅克比矩阵的最小奇异
值，该值越大系统稳定度越高。2.1.2
等式约束条件reactivepower
等式约束条件可表示为
P Gi -P Li -V i
∑j =1n
V j (G ij cos θij +B ij sin θij )=0（2）Q Gi -Q Li -V i
∑j =1
n
V j (G ij sin θij -B ij cos θij )+Q ci =0（3）
式中：
P Gi ，P Li —分别为节点i 的发电机有功出力和有功负荷；
Q Gi ，Q Li —分别为节点i 的发电机无功出力
和无功负荷；
Q ci —节点i 的无功补偿容量；
G ci ，B ij —分别为节点导纳阵中节点i 和节
点j 之间的电导和电纳。2.1.3
不等式约束条件：
ìíîï
ïV Gi min ＜V Gi ＜V Gi max
Q Ci min ＜Q Ci ＜Q Ci max K k min
＜T k ＜T
k max （4）
ìí
îQ gi min ＜Q gi ＜Q gi max
V dimin ＜V di ＜V dimax
（5）
式中：T k max （T k min ）、Q Gi max （Q Gi max ）、V Gi max （V Gi min ）—分
别代表变压器变比、发电机端电压、无功补偿容量最大值（最小值）；
Q gi max （Q gi min ）、V dim ax （V dim in ）
—分别代表发电机机无功出力和负荷节点电压的上下限。2.1.4
约束条件的处理
在优化过程中，由于发电机节点电压，变压器
变比，无功补偿容量为控制变量，其不等式约束作为解的搜索空间处理，而对于负荷节点电压，发电机
无功出力等状态变量的约束条件，本文采用罚因子随迭代次数指数递增的可变罚函数来处理。这样，种进化早期罚因子取值比较小，可以加快收敛速度，增加粒子多样性。在进化后期，罚因子取值很大，含有越限的粒子目标函数值会变得很
差，从而淘汰掉越限粒子。
将节点电压U d 约束与发电机无功出力Q g 作为罚函数引入各目标函数构成新的目标函数，其表达式为：
f k =min f k +∂1∑d =1N PQ
æèçö
ø÷ΔU d U d max -U d min 2
+∂2∑g =1N
G
æèçöø
÷ΔQ g Q g max -Q g min 2
（6）
其中：
ΔU d =ìíîïïU d -U d max U d ＞U d max
U d min ＜U d ＜U d max U d min
-U
d U d ＜U d max
（7）ΔQ g =ìíîï
ïQ g -Q g max
Q g ＞Q g max 0
Q g min ＜Q g ＜Q g max Q g min
-
Q g Q g ＜Q g max （8）∂1=λ1e t ,∂2=λ2e t （9）
式中：k —第k 个目标函数（k =1，2，3）；
t —迭代次数；λ1，λ2—常数。
故本文关于多目标无功优化的问题即为min(F )=(f 1,f 2,f 3)T
（10）
2.2改进纵横交叉算法的原理
原始纵横交叉算法包括纵向交叉和横向交
叉，竞争算子。算法基本操作流程为父代粒子经
过纵向交叉（横向交叉）后引入竞争算子，通过父代粒子和子代粒子的比较来更新种，两种不同交叉方式交替进行。这种不同维度间的算术交叉
能够促进种粒子间的信息交流且不宜陷入早熟收敛，同时能够保证种的多样性。
而本文将纵横交叉算法运用于多目标对象上，摒弃了原算法中的竞争算子，采用目标排序的方式对粒子进行筛选。另外，不同于原算法中两种交叉后都进行父代和子代的比较。改进的算法在纵交叉之后通过目标排序后比较在子代中筛选出一半的优秀粒子，而横向交叉之后不对子代粒子进行筛选，最后将两个不同的子代结合为一个种。这种看似不可思议的操作方式一方面保存了基础纵横交叉算法更新种的原理，另一方面种2种交叉后不一样的处理方法筛选出不同目标下的优秀粒子，为下一步进行Pareto 操作提供更多的粒子选择。2.2.1
横向交叉操作
横向交叉首先对种进行两两不重复配对，
·
·21
再把配对好的不同个体进行所有维间的算数交叉。假设父代个体X (i )和X (j )的第d 维进行横向交叉，其产生第d 维后代折中解MS hc (i ,d ）和
MS vc (j ,d )的公式如下
ìí
î
ï
ï
ïïMS hc (i ,d )=r 1·X （i ,d )+(1-r 1)·X (j ,d )
+c 1·(X (i ,d )-X (j ,d ))MS hc (j ,d )=r 2·X （j ,d )+(1-r 2)·X (i ,d )+c 1·(X (j ,d )-X (i ,d ))（11）
式中：r 1，r 2—是［0，1］之间的随机数；c 1，c 2—是［-１，1］之间的随机数。2.2.2
纵向交叉操作
纵向交叉是所有个体都会参与的不同维之间的一种算数交叉操作，故交叉前必须对父代进行归一化并配对，交叉后必须对其进行反归一化处理。假设父代个体X (i )的第d 1维和第d 2维进行纵向交叉，其产生的子代个体x (i )第d 1维后代MS sv (i ,d 1)的公式如下：
MS vc (i ,d 1)=r 3×X (i ,d 1)+(1-r 3)X (i ,d 2)
（12）
式中：
d 1，d 2∈N (1,D )；i ∈(1,M )；
r 3—［0，1］之间的随机数。
2.2.3
目标序列排序选择
用于单目标优化的原始纵横交叉算法通过引
入竞争算子来选择更新后的粒子，但是这种更新方式用于多目标时有极大的局限性。本文采用目标序列排序选择来取代基础纵横交叉算法的竞争算子，具体操作如下：
所有个体首先根据该目标的函数值优劣的排序生成可行解的排序序列X i ，再根据排序序列X i 计算其适应度，公式如下
E i (X j )=ìíî(P -R i (X j ))2
,R i (X j )＞1,i =1,2.3KP 2
,R i (X j )=1,i =1,2,3
（13）
ì
í
îïï
E (X j )=∑i =1n
E i (X j )
i =1,2,⋯P （14）
式中：
P —种的规模；X j —第j 个个体；
R i —对第i 目标进行非选择排序后所得的序列；E i （X j ）
—
X j 对目标i 的适应度；E （X j ）—粒子X j 对所有目标计算所得的综
合适应度；
k —(1，2)区间的常数，可用来增强最优粒子
的适应度。
由式（13）、式（14）可以看出，对于总体表现更好的个体能得到更大的适应度。采用这种方法代替原始纵横交叉算法的竞争算子，一方面能够保存粒子中每个目标中优秀粒子，同时能够提高粒
子的多样性。2.3精英解集的更新
本文采用Pareto 占优概念对种粒子进行更
新，嵌入非支配排序与拥挤距离计算，选择运算，精英策略。
2.3.1非支配排序以及拥挤距离
根据个体的非劣解水平对种分层，该算法
需要计算种P 中每个个体i 的2个参数N i 和S i ，其中n i 为种中支配个体i 的个体数，N i 为种中被个体i 支配的个体集合N i =0。快速非劣
分层的具体步骤为：1出种中所有N i =0的个体，并保存在当前集合F 1中；
2对于当前集合F 1中每个个体i ，其所支配的个体集合为S i ，遍历S i 中每个个体，执行N 1=N 1-1如果N 1=0，则将i 保存在集合H 中；
3记F 1中得到个体为第一个非支配层的个
体，并以H 为当前集合，重复以上操作，直到整个种被分层；
4对同等级的个体计算相邻两个点之间的局部拥挤距离计算，其值越大代表粒子个体分布较分散，个体的多样性较好。2.3.2选择运算
比较两个个体，如果非劣解等级不同，则取等
级高的点；如果两点在同一个等级上，则取拥挤距
离比较大的点。选择过程使优化朝Pareto 最优解的方向进行，并且使解在空间上均匀散布。
2.3.3精英策略
将父代和子代合成一个统一的种放在进化
池中，种变成2N 个。采用选择运算产生新一轮种个数为N 的新一代种。这种精英策略方式能够保留父代中的优良个体进入子代。2.4最优折中解
本文采用模糊决策理论对Pareto 最优前沿的
解进行选择，运用隶属度函数评价每一个决策变量的满意度，对于Pareto 前沿中的解k，隶属度函数表示为
·
·22
u i .k (P k )=
f max i ,k -f i (P k )
f min i ,k
（15）
式中：f max i ,k ，f min
i ,k —第i 个目标函数的最大值和最
小值。
FDM i (P k )=ìíî
ï
ï0
u i ,k (P k )≤0
u i ,k (P k )
0＜u i ,k (P k )＜11u i ,k (P k )≥1
（16）显然，当FDM i （P k ）=0时是完全不满意的；当FDM i （P k ）=1时是完全满意的；
进行归一化处理后，对每个解k 的满意度评价如下：
FDM k
=
∑i =1
3
FDM (P k
)
∑j =1m
∑i =1
3FDM
j
i
（17）
Pareto 最优解集中满意度最大的解即为多目标无功优化的最优折中解。2.5算法步骤
（1）系统初始化。读入系统参数，初始化算法参数，控制变量等，形成初始种M 。
（2）进行潮流计算，计算每个粒子的目标函数值。
（3）根据公式（11）对种执行横向交叉，产生新种W ，求出粒子每个目标的目标函数值。
（4）根据公式（12）对种执行纵向交叉，产生新种R ，求出粒子每个目标的目标函数值，采用目标序列排序选择优秀粒子种Q 。其中Q 的种数为M 的一半。
（5）将纵横交叉后产生的子代W 和Q 以及父代M 组合在一起。
（6）对组合种进行非支配排序和计算拥挤距离，通过选择运算选出与初始种规模一样的下一代种T ，并将种T 覆盖种M 进入下一代循环。
（7）判断迭代次数是否达到设定的最大次数：是则输出结果，迭代结束；否则转第（3）步。
（8）根据公式（15）（16）（17）求出最优折中解。改进的纵横交叉算法多目标无功优化流程如图1所示。
初始化各种参数和变量
生成初始种M ，并计算各目标函数值
根据公式（11）执行横向交叉变换生成子代W ，并计算各目标函数值
种M 根据公式（12）进行纵向交叉变换产生子代R ，并计算各目标函数值
对R 执行目标序列排序，筛选规模为
M /2的优秀粒子种Q ，
将父代M 和子代Q 、W 组合在一起
采用非支配排序和拥挤距离计算选
出下一代种M
达到迭代次数？
输出结果
Y N
图1改进CSO 多目标无功优化流程
3仿真对比
本文通过在IEEE 14、IEEE 57节点分别对改
进纵横交叉算法和NSGA-II 两种方法进行仿真对比。算法参数设置如下：种规模为50，最大迭代次数为100，CSO 算法中的横向交叉概率为1，纵向交叉概率为0.6。在测试中除平衡节点外，电源节点都作为PV 节点处理，负荷节点都作为PQ 节点处理。变压器变比上限为1.1，下限为0.9，变量步长为0.025；无功补偿为0.0～0.5p.u.，调节步长为0.1；发电机节点电压上下极限为1.1~0.95p.u.，变
·
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