2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目
D题天然肠衣搭配问题
摘要
该题主要研究生产天然肠衣及其搭配问题，并且要求在一定的原料情况下，生产的成品捆数越多越好，该问题属于线性规划并且为取整线性规划来求最优解问题。根据每种规格的规定，在解题的过程中，我们建立线性方程组作为第一层优化，然后将建立的模型带入到lingo软件中，得到第一层优化最优方案，之后又根据实际进行了第二层优化，得到规格一成品捆数的上限为15捆；规格二成品的捆数的上限为37捆；规格三成品的捆数的上限为137捆；总捆数为188捆。在一定的误差允许范围内，该方案较符合题目所属要求和实际生产情况。并且生产后的剩余废弃原料少，做到了在限定原料内创造最大利润的好处。
问题简述：
原料按长度分档，通常以0.5米为一档，如：3-3.4米按3米计算，3.5米-3.9米按3.5米计算，其余的依此类推。成品规格和原料描述如图所示：
表1  成品规格表
最短长度最大长度根数总长度
3    6.5 20 89
7 13.5 8 89
14 ∞  5 89
表2  原料描述表
长度3-3.4    3.5-3.9 4-4.4    4.5-4.9 5-5.4    5.5-5.9 6-6.4 6.5-6.9
根数43 59 39 41 27 28 34 21
长度7-7.4 7.5-7.9 8-8.4 8.5-8.9 9-9.4 9.5-9.9
10-
10.4
10.5-
10.9
根数24 24 20 25 21 23 21 18
长度
11-
11.4
11.5-
11.9 12-12.4
12.5-
12.9
13-
13.4
13.5-
13.9
14-
14.4
14.5-
14.9
根数31 23 22 59 18 25 35 29
长度
15-
15.4
15.5-
15.9 16-16.4
16.5-
16.9
17-
17.4
17.5-
17.9
18-
18.4
18.5-
18.9
根数30 42 28 42 45 49 50 64
长度
19-
19.4
19.5-
19.9 20-20.4
20.5-
20.9
21-
21.4
21.5-
21.9
22-
22.4
22.5-
22.9
根数52 63 49 35 27 16 12    2
长度
23-
23.4
23.5-
23.9 24-24.4
24.5-
24.9
25-
25.4
25.5-
25.9
根数0    6 0 0 0    1
本题要求建立数学模型设计一个原料搭配方案，按题中所给规格完成原料搭配方案，并符合如下要求：
(1) 对于给定的一批原料，装出的成品捆数越多越好；
(2) 对于成品捆数相同的方案，最短长度最长的成品越多，方案越好；
(3) 为提高原料使用率，总长度允许有± 0.5米的误差，总根数允许比标准少1根；
(4) 某种规格对应原料如果出现剩余，可以降级使用。如长度为14米的原料可以和长度介于7-13.5米的进行捆扎，成品属于7-13.5米的规格；
(5) 为了食品保鲜，要求在30分钟内产生方案。
模型的假设：
1、肠衣经过清洗整理后被分割成长度不等的小段（原料），原料在组装过程中长度不发生变化；
2、原料按长度分档，分档后原料不可再被分割；
3、将原料长度视为离散变量；
4、为提高原料使用率，每捆总长度允许有±0.5米的误差，每规格的成品总根数允许比标准少一根。
问题分析：
天然肠衣由于规定的档次（长度）不同，规格也不一样，所以每个规格的每捆肠衣成品长度不同，考虑到要在相同的成品捆数方案里出最短长度最长的方案，我们想到了整数规划问题[1]的解决办法。我们首先把肠衣成品的分配问题分开考虑，按下表中的成品规格表的规格将原料分成三类, 即：长度分布在3～6.5米的原料为规格一；长度分布在7～13.5米的原料为规格二；长度分布在14～25.5米的原料为规格三。每种规格需要满足表中的根数约束，总长度约束，各区间总根数约束及整数约束。
表3  成品规格表
规格最短长度最大长度根数总长度
1    3    6.5 20 89
2 7 13.5 8 89
3 1
4 ∞
5 89
模型建立与求解：
第一层优化
符号声明：
,,
x y z代表三种成品的捆数（取整）；
q代表从第i个区间取得条数；
i
c代表从第i个区间肠衣的长度，如3-3.4米按3米计算，3.5米-3.9米按i
3.5米计算，其余的依此类推；
s为第i个区间总条数。
i
8
i 123
i 946
i 24
8
i 1
23
i 946
i 24
461
x *89.5*88.5*x
*89.5*88.5**89.5*88.5*x*2019*x
8*7*5*4*i i i i i i i i i i i
i
i q c y q c y
z q c z
q y q y
z q z
q
s ========≥≥≥≥≥≥≥≥≥≥≥≥<=∑∑∑∑∑∑∑
输入Lingo 求得：
14
37137
x y z ===
理论上，根据原料总根数和总长度以及每捆成品的根数和总长度，可求得规格一成品捆数的上限为14捆；规格二成品的捆数的上限为37捆；规格三成品的捆数的上限为137捆；总捆数为188捆。 结果分析：
第二层优化
表4  原料剩余表
长度 3-3.4    3.5-3.9
4-4.4    4.5-4.9 5-5.4    5.5-5.9 6-6.4
6.5-6.9 剩余根数 0 0 16.625 0
0 0 长度
7-7.4
7.5-7.9
8-8.4
8.5-8.9 9-9.4 9.5-9.9
10-10.4
10.5-10.9
剩余
根数24 24 10 0 0 0 0 0
长度11-11.4 11.5-
11.9 12-12.4
12.5-
12.9
13-
13.4
13.5-
13.9
14-
14.4
14.5-
14.9
剩余
根数0 0 0 0 0 0 0 0
长度15-15.4 15.5-
15.9 16-16.4
16.5-
16.9
17-
17.4
17.5-
17.9
18-
18.4
18.5-
18.9
剩余
根数0 0 0 0 0 0 0 0
长度19-19.4 19.5-
19.9 20-20.4
20.5-
20.9
21-
21.4
21.5-
21.9
22-
22.4
22.5-
22.9
剩余
根数  1.84211 0 0 0 0 0 0 0
长度23-23.4 23.5-
23.9 24-24.4
24.5-
24.9
25-
25.4
25.5-
25.9
剩余
根数0 0 0 0 0 0
根据某种规格对应原料如果出现剩余，可以降级使用的原则。将4-4.4剩余的15根与7-7.4的4根组成一捆规格一，所以经过第二层优化后，规格一15捆，规格二37捆，规格三137捆，共189捆。
模型稳定性分析
我们所建立的模型通过对目标的最优化问题，使得多目标的规划问题转化为单目标线性规划问题，所以能比较好的反映出各个目标函数的重要程度。而且模型在计算中作了一些舍入和取整，不可避免的产生了一些误差，但是这些误差的是可以容忍的。
结论
此模型在一定的误差允许范围内，较符合题目所属要求和实际生产情况。并且生产后的剩余废弃原料少，做到了在限定原料内创造最大利润的好处。工人可以工人根据这个方案“照方抓药”进行生产，在一定程度上可提高生产效率。并且此模型易于推广，只需稍加改动就可以推广到解决其他分类封装的问题上。长度介于0和59字符串

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