高职数学建模应用案例
——天然肠衣搭配问题模型研究
胡婷  程华  陈波
（湖北交通职业技术学院，湖北 武汉 430079）
摘要：本文建立了天然肠衣搭配问题的整数规划模型，首先由题意知某种规格对应肠衣的原料如果出现剩余，则可以降级使用，因此要对肠衣进行分级考虑。我们将天然肠衣原料按长度分为三级，从第三级开始，若肠衣有剩余，则将剩余的第三级肠衣原料降级到第二级使用，依此类推。最后使得到的捆扎好的成品达到最大化。再根据题目中公司对搭配方案的其他要求，将此模型改进。用LINGO求解得到：从第三级肠衣开始计算，三级天然肠衣的最大捆数分别为131捆、47捆、14捆，综合得到天然肠衣的最大总捆数为192捆，此时有15根一级肠衣剩余。最后我们将此模型进行了一般化与推广。
关键词：天然肠衣搭配问题；LINGO；整数规划
Higher professional application of mathematical modeling case
——Natural casing tie-in problem model research
Hu ting, Cheng hua, Chen bo
( Hubei Communications Technical College, Hubei Wuhan 430079 )
Abstract: This paper has established an integer programming model which about natural casing tie-in problem, first of all, by subject know that if a specification of the corresponding casing raw material appear surplus, it can be downgraded ,so we should consider to divide casing classification. According to the length,We will divide natural casing raw materials into three levels, and from the third level start, if there are casing surplus,the surplus of the third level's casing raw material relegation to the second level to use, by analogy. Finally have to maximize the strapping good products. According to the questions in the scheme of collocation of other requirements, the model has improved.With the LINGO solving get: from the third level's casing began to calculation, the three levels natural casing's maximum number is 131 bundles, 47 bundles, 14 bundles, comprehensively get the biggest total bundle of natural casing for 192 bales, right now hasthe first level casing surplus for 15 root .
Finally ,this model was generalization and promotion by us.

1. 问题重述
1.1  问题背景
天然肠衣制作加工是我国的一个传统产业，出口量占世界首位。肠衣经过清洗整理后被分割成长度不等的小段(原料)，进入组装工序。传统的生产方式依靠人工，边丈量原料长度边心算，将原材料按指定根数和总长度组装出成品(捆)。
1.2  相关约定
原料按长度分档，通常以0.5米为一档，如：3-3.4米按3米计算，3.5米-3.9米按3.5米计算，其余的依此类推。
1.3  问题提出
题目中给出了公司对搭配方案的要求，以及成品规格表和原料描述表，我们要建立一个数学模型使其同时达到如下五个要求：
(1)对于给定的一批原料，装出的成品捆数越多越好；
(2)对于成品捆数相同的方案，最短长度最长的成品越多，方案越好；
(3)为提高原料使用率，总长度允许有± 0.5米的误差，总根数允许比标准少1根；
(4)某种规格对应原料如果出现剩余，可以降级使用。
(5)为了食品保鲜,要求在30分钟内产生方案。
    同时用建立的模型对题中成品规格表和原料描述表给出的实际数据进行求解，给出捆扎搭配方案。
2.模型假设
1.假设肠衣原料完好无损，无劣质、破烂问题；
2.假设加工过程中的切割、打捆没有造成肠衣长度的折损；
3.假设原料测量数据基本准确无误；4.假设所有肠衣质量不影响降级使用。
3.符号说明
:表示肠衣的档次（当肠衣长度为3-3.4米是，当肠衣长度为3.5-3.9米是，依此类推）（）;
：表示肠衣的级数(肠衣长度为3-6.5米是，当肠衣长度为7-13.5米是，依此类推);
: 表示每档肠衣使用的总根数();
: 表示每级肠衣的捆数();
: 表示每档肠衣长度();
: 表示每档肠衣最多可使用的根数()
4.模型的建立与求解
此问题可看成一个整数规划问题。根据题意，将天然肠衣按长度分为三级：第一级 3-6.5 米，第二级 7-13.5 米，第三级 14-26 米。设每级的肠衣捆数分别为、、。根据题目条件“对于给定的一批原料，装出的成品捆数越多越好”，我们可以列出目标函数如下：
要考虑降级问题，则可先从第三级开始考虑。
    设为每档肠衣使用的总根数，见表1.
表1  每档使用肠衣的根数（根）
长度
3-3.4
3.5-3.9
4-4.4
根数
长度
4.5-4.9
5-5.4
5.5-5.9
根数
长度
6-6.4
6.5-6.9
7-7.4
根数
长度
7.5-7.9
8-8.4
8.5-8.9
跟数
长度
9-9.4
9.5-9.9
10-10.4
根数
长度
10.5-10.9
11-11.4
11.5-11.9
根数
长度
12-12.4
12.5-12.9
13-13.4
根数
长度
13.5-13.9
14-14.4
14.5-14.9
根数
长度
15-15.4
15.5-15.9
16-16.4
根数
长度
16.5-16.9
17-17.4
17.5-17.9
根数
长度
18-18.4
18.5-18.9
19-19.4
根数
长度
19.5-19.9
20-20.4
20.5-20.9
根数
长度
21-21.4
21.5-21.9
22-22.4
根数
长度
22.5-22.9
23-23.4
23.5-23.9
根数
长度
24-24.4
24.5-24.9
25-25.4
根数
长度
25.5-25.9
根数
又由题意知道第三级每捆成品规格14-26米5根，且总长度允许有± 0.5米的误差，总根数允许比标准少1根,则第三档所有肠衣的总根数满足：
  设肠衣长度为，见表 2.
表2  每档肠衣长度
长度
根数
43
59
39
长度
根数
41
27
28
长度
根数
34
21
24
长度
根数
24
20
25
长度
根数
21
23
21
长度
根数
18
31
23
长度
根数
22
59
18
长度
根数
25
35
29
长度
根数
30
42
28
长度
根数
42
45
49
长度
根数
50
64
52
长度
根数
63
49
35
长度
根数
27
16
12
长度
根数
2
0
6
长度
根数
0
0
0
长度
根数
1
第三档所有肠衣的总长度满足：
  可简化为：
由原料描述表可以得出如下限制条件：
设每档肠衣原料的最多可使用的根数为，见表3.
表3  每档肠衣原料的根数（根）
长度
3-3.4
3.5-3.9
4-4.4
根数
长度
4.5-4.9
5-5.4
5.5-5.9
根数
长度
6-6.4
6.5-6.9
7-7.4
根数
长度
7.5-7.9
8-8.4
8.5-8.9
跟数
长度
9-9.4
9.5-9.9
10-10.4
根数
长度
10.5-10.9
11-11.4
11.5-11.9
根数
长度
12-12.4
12.5-12.9
13-13.4
根数
长度
13.5-13.9
14-14.4
14.5-14.9
根数
长度
15-15.4
15.5-15.9
16-16.4
根数
长度
16.5-16.9
17-17.4
17.5-17.9
根数
长度
18-18.4
18.5-18.9
19-19.4
根数
长度
19.5-19.9
20-20.4
20.5-20.9
根数
长度
21-21.4
21.5-21.9
22-22.4
根数
长度
22.5-22.9
23-23.4
23.5-23.9
根数
长度
24-24.4
24.5-24.9
25-25.4
根数
长度
25.5-25.9
根数
    于是我们可以建立如下模型：
用LINGO求解（程序见附件1）得到第三级的总捆数为131捆，各档肠衣使用情况如下
表4所示.
长度介于0和59字符串
表4  第三级各档肠衣使用情况
长度
14-14.4
14.5-14.9
15-15.4
根数
35
29
30
长度
15.5-15.9
16-16.4
16.5-16.9
根数
42
28
42
长度
17-17.4
17.5-17.9
18-18.4
根数
45
49
50
长度
18.5-18.9
19-19.4
19.5-19.9
根数
64
52
63
长度
20-20.4
20.5-20.9
21-21.4
根数
49
35
27
长度
21.5-21.9
22-22.4
22.5-22.9
根数
13
1
2
长度
23-23.4
23.5-23.9
24-24.4
根数
0
0
0
长度
24.5-24.9
25-25.4
25.4-25.9
根数
0
0
0
对照题中所给原料描述表，可知第三级里还有肠衣有剩余肠衣如表5：
表5 第三级各档肠衣剩余情况
长度
14-14.4
21.5-21.9
剩余根数
2
2
长度
24-24.4
22-22.5
剩余根数
11
6
长度
25.5-25.9
剩余根数
1
由于某种规格对应原料如果出现剩余，可以降级使用。如长度为14米的原料可以喝长度介于7-13.5米的进行捆扎，成品属于7-13.5米的规格；我们可以将以上剩余的肠衣降级到第二级肠衣使用。
同理，我们考虑第二级肠衣的使用情况：
    第二档所有肠衣的总根数满足：
第二档所有肠衣的总长度满足：
由原料描述表可以得出如下限制条件：
于是可建立如下模型：
用LINGO求解（程序见附件2）得到第二级的总捆数为47，各档肠衣使用情况如下
表6.
表6  第二级各档肠衣使用情况
长度
7-7.4
7.5-7.9
8-8.4
根数
24
24
20
长度
8.5-8.9
9-8.4
9.5-9.9
根数
25
21
23
长度
10-10.4
10.5-10.9
11-11.4
根数
21
18
30
长度
11.5-11.9
12-12.4
12.5-12.9
根数
23
22
59
长度
13-13.4
13.5-13.9
14-14.4
根数
17
25
2
长度
21.5-21.9
22-22.4
23.5-23.9
根数
3
11
6
长度
25.5-25.9
根数
1
对照题中所给原料描述表，可知第二级还有剩余肠衣情况如下表7：
长度
11-11.4
13-13.4
剩余根数
1
1
同理可将这些剩余的肠衣降级到第一级肠衣使用。
最后考虑第一级肠衣的使用情况：
第一档所有肠衣的总根数满足：
上式可简化为：
第一档所有肠衣的总长度满足：
上式可简化为：
由原料描述表可以得出如下限制条件：
归纳为如下模型：
用LINGO求解（程序见附件3）得到第一级的捆数为14，各档肠衣使用情况如下表8.
表8  第一级各档肠衣使用情况
长度
3-3.4
3.5-3.9
根数
43
59
长度
4-4.4
4.5-4.9
根数
29
41
长度
5-5.4
5.5-5.9
根数
27
28
长度
6-6.4
6.5-6.9
根数
34
18
长度
18-18.4
23.5-23.9
根数
0
0
对照题中所给原料描述表，可知第一级还有剩余肠衣情况如表9：
表9 第一档肠衣剩余情况
长度
4-4.4
6.5-6.9
剩余根数
10
3
长度
11-11.4
13-13.4
剩余根数
1
1
综上所述，得到总目标函数即肠衣总捆数为：
经计算得到这三级肠衣的总捆数为192捆。
因为模型不具有一般性，于是我们将模型进行了一般化，如下所示：
其中，为每级的捆数，为每级中每捆的总长度，总长度允许有的误差，总根数允许比标准少根。
5. 模型的评价与推广
5.1 模型的评价
5.1.1  模型的优点
    此模型的优点在于用比较简单的数学知识，直观的计算出了满足捆数最多的配置方案，同时兼顾了最短长度最长的成品尽可能的多这一要求。此模型用 Lingo 软件计算迅捷，能够在 30 分钟内得到较优的配置方案，在具体生产中有可操作性。
5.1.2  模型的缺点
    此模型将总捆数最大作为最佳方案的衡量标准，而没能太多的考虑“最短长度最长的成品越多”这一衡量标准，只是在解决此问题的思路上优先考虑了最短长度最长的肠衣尽可能的多捆扎少降级。另外此模型没能求得捆数方案的解析解也是其缺点之一。
5.2 模型的推广
    此模型具有一定的推广意义，例如也可用于其他材料的分配问题，如钢管下料问题等。

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