第二章计算机中数的表示和计算
第二章计算机中数的表示和计算
一、定点数表示
* 小数点位置固定，放在字首称小数定点，放在字尾称整数定点
* 定点表示机器只能表示纯的整数或纯的小数，不能表示实数
1、无符号数：最高位不是符号位
（1）整数定点：小数点放在字尾
例：以8位二进制为例，格式如下：
0 0 0 0 0 0 0 0 真值为0
0 0 0 0 0 0 0 1 真值为1
…
1 1 1 1 1 1 1 1 真值为28－1=255
（2）小数定点：小数点放在字首
例：以8位二进制为例，格式如下：
0.0 0 0 0 0 0 0 0 真值为0
0.0 0 0 0 0 0 0 1 真值为2-8
…
0.1 1 1 1 1 1 1 1 真值为1－2-8
2、有符号数：最高位是符号位，有效数值相应少一位
（1）整数定点：小数点放在字尾，最高位为符号位S f
（2）小数定点：最高位为符号位S f，小数点放在S f之后
3、有符号数的码制
（1）原码
* 数值不变，正数符号位S f =0，负数符号位S f =1，“0”值形式不唯一例：X = +1010 则[X]原= 0，1010字符串长度什么时候算0
X = -1010 则[X]原= 1，1010
（2）补码
* 正数符号位S f =0，负数符号位S f =1
* 正数数值不变，负数数值各位取反，末位加1
* “0”值形式唯一
例：X = +1010 则[X]补= 0，1010 正数形式与原码一样
X = -1010 则[X]原= 1，0101 + 0001= 1，0110
附加：* 已知一个补码，求其负值的补码，只需连同符号位一起，各位取反，末位加1 * 变形补码：符号位取两位，则其含义如下：
00→表示正数、11→表示负数、01→表示正溢出、10→表示负溢出（3）反码
* 正数符号位S f =0，负数符号位S f =1
* 正数数值不变，负数数值各位取反
* “0”值形式不唯一
例：X = +1010 则[X]反= 0，1010 正数形式与原码和补码一样
X = -1010 则[X]反= 1，0101
（4）移码
* 正数符号位S f =1，负数符号位S f =0，与前三种码不同
* 正数数值不变，负数数值各位取反，末位加1，与补码相同
* “0”值形式唯一
例：X = +1010 则[X]反= 1，1010
X = -1010 则[X]反= 0，0101+ 0001= 0，0110 与补码就符号位不同
特点：直接从码的数值上，就可以判断出其真值的大小关系
二、浮点数表示
* 小数点的位置可以浮动，通过改变阶码值来实现
1、格式
阶符尾符
数学意义：N = S ×2J，S用纯小数，表数的精度，J用纯整数，表数的范围
例：设上述浮点格式n为8位，m为6位，均用补码，把（-17.25）表示成浮点数。
则（-17.25）二进制数对应为（-10001.01），变成数学形式（-0.1000101×2101），其中除了阶底2为十进制数，其余皆为二进制，阶码为101（即十进制的5），尾数小数点左移了五位。
按上述格式补齐数位，尾数在数后补0，阶码在数前补0。
则上数变为（-0.10001010×2000101），尾数补码（1，01110110），阶码补码（0，00010
1）。
该数值整体表示成：0，000101；1，01110110。
2、表数范围（仅描述正数区间，负数只差符号）
|X|MAX＝（1-2-n）×2K，其中K＝2m-1
|X|MIN＝（2-n）×2-K，其中K＝2m-1
注意：此区间没包括0值
3、0值的浮点表示
* 理解尾数的真正意义，表示数值序列，只是没有小数点
* 理解阶码的真正意义，表示小数点的具体位置，正数在数值序列的后面（值变大），负数在数值序列的前面（值变小）
* 0值的表示：数值序列为0，且值变为最小（阶码为负值，且绝对值最大）
例：设上述浮点格式n为8位，m为6位，均用补码，表示0值。
则0值表示成，尾数（0，00000000），阶码（1，000000），阶码为负值，且绝对值
最大。该0值整体表示成：1，000000；0，00000000。
注意：浮点0值若用补码表示则不是全0形式，硬件判断麻烦，所以有的机器数阶码用移码表示，尾数还用补码。
4、规格化
原因：保证有效数值尽可能最大化
形式：要求1＞|S|≥（1/2），即尾数第一位S1＝1
表数范围：|X|MIN＝（2-1）×2-K，其中K＝2m-1，|X|MAX同上
5、定点数与浮点数的比较
（1）字长一定时，定点表数精度高，浮点表数范围大；
（2）字长不同时（通常浮点表示字长要比定点表示长），浮点表数即精度高，又范围大；（3）浮点运算比定点运算慢，浮点数是两部分，要分别处理；
（4）判断溢出时，定点数判断数值本身，浮点数判断阶码。
三、定点数的运算
1、移位运算
（1）逻辑移位：最高位不是符号位
规则：左移低位补0，右移高位补0
（2）算术移位：最高位为符号位，保持不变，仅对数值操作
规则：正数数值操作，左移低位补0，右移高位补0，不考虑码制
负数数值操作，原码时，左移低位补0，右移高位补0
反码时，左移低位补1，右移高位补1
补码时，左移低位补0，右移高位补1
（3）算术移位对结果的影响
正数数值操作时，不考虑码制，左移高位丢1，错误，右移低位丢1，误差
负数数值操作时，原码时，左移高位丢1，错误，右移低位丢1，误差
反码时，左移高位丢0，错误，右移低位丢0，误差
补码时，左移高位丢0，错误，右移低位丢1，误差
注意：负数的补码可以理解为原码和反码的组合体，左为反码，右为原码
2、加减法运算
* 仅描述补码规则，因为补码减法实际也是加操作，硬件简单，没有减法器
基本公式：[A]补＋[B]补＝[S]补（mod M）
[A]补－[B]补＝[A]补＋[－B]补＝[S]补（mod M）
规则：加法直接加上加数的补码，减法加上负值加数的补码
注意：已知加数的补码，只需把其连同符号位一起，各位取反，末位加1，即为其负值加数的补码
溢出判断规则：同号相加，结果异号，则溢出

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