函数的15种求值方法
在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。本文就函数值域求法归纳如下，供参考。
基本知识
1.定义：因变量y的取值范围叫做函数的值域（或函数值的集合）。
2.函数值域常见的求解思路：
⑴划归为几类常见函数，利用这些函数的图象和性质求解。
⑵反解函数，将自变量x用函数y的代数式形式表示出来，利用定义域建立函数y的不等式，解不等式即可获解。
⑶可以从方程的角度理解函数的值域，从方程的角度讲，函数的值域即为使关于x的方程y=f(x)在定义域内有解的y得取值范围。
特别地，若函数可看成关于x的一元二次方程，则可通过一元二次方程在函数定义域内有解的条件，利用判别式求出函数的值域。
⑷可以用函数的单调性求值域。
⑸其他。
1. 直接观察法
对于一些比较简单的函数，通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域
例1. 求函数的值域。
解：∵∴
显然函数的值域是：
2. 配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例2. 求函数的值域。
解：将函数配方得：
∵
由二次函数的性质可知：当x=1时，，当x=-1时，
故函数的值域是：[4，8]
3. 判别式法
例3. 求函数的值域。
解：两边平方整理得：（1）
∵∴
字符串函数怎么获取解得：
但此时的函数的定义域由，得
由，仅保证关于x的方程：在实数集R有实根，而不
能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由求出的范围可能
比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为。
可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。
∵∴
∴代入方程（1）
解得：即当时，
原函数的值域为：
注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。
4. 反函数法
直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。
例4. 求函数值域。
解：由原函数式可得：
则其反函数为：，其定义域为：
故所求函数的值域为：
5. 函数有界性法
直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。
例5. 求函数的值域。
解：由原函数式可得：，可化为：
即
∵∴
即解得：
故函数的值域为
6. 函数单调性法
例6. 求函数的值域。
解：令则在[2，10]上都是增函数
所以在[2，10]上是增函数
当x=2时，
当x=10时，
故所求函数的值域为：
例7. 求函数的值域。
解：原函数可化为：
令，显然在上为无上界的增函数
所以，在上也为无上界的增函数
所以当x=1时，有最小值，原函数有最大值
显然y>0，故原函数的值域为
7. 换元法
通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作
例8. 求函数的值域。
解：因
即
故可令
∴
∵
∴
∴
故所求函数的值域为
例9. 求函数的值域。
解：原函数可变形为：
可令，则有
∴
当时，
当时，
而此时有意义。
故所求函数的值域为
例10. 求函数，的值域。
解：
令，则
由且
可得：
∴当时，，当时，
故所求函数的值域为。
例11. 求函数的值域。
解：由，可得
故可令
∵∴
当时，
当时，
故所求函数的值域为：
8. 数形结合法
其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。[要学习网,只做中学生最喜欢、最实用的学习论坛，地址www.yaoxuexi手机版地址wap.yaoxuexi]
例12. 求函数的值域。
解：原函数可化简得：y=|x-2|+|x+8|

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