递  归
冯文科
一、递归的基本概念。
    一个函数、概念或数学结构，如果在其定义或说明内部直接或间接地出现对其本身的引用，或者是为了描述问题的某一状态，必须要用至它的上一状态，而描述上一状态，又必须用到它的上一状态……这种用自己来定义自己的方法，称之为递归或递归定义。在程序设计中，函数直接或间接调用自己，就被称为递归调用。
二、递归的最简单应用：通过各项关系及初值求数列的某一项。
   
在数学中，有这样一种数列，很难求出它的通项公式，但数列中各项间关系却很简单，于是人们想出另一种办法来描述这种数列：通过初值及与前面临近几项之间的关系。
要使用这样的描述方式，至少要提供两个信息：一是最前面几项的数值，一是数列间各项的关
系。
比如阶乘数列
1、2、6、24、120、720……
如果用上面的方式来描述它，应该是：
如果需要写一个函数来求的值，那么可以很容易地写成这样：
int f(int n)
{
if(n==1)
return 1;
  return n*f(n-1);
}
    这就是递归函数的最简单形式，从中可以明显看出递归函数都有的一个特点：先处理一些特殊情况——这也是递归函数的第一个出口，再处理递归关系——这形成递归函数的第二个出口。
    递归函数的执行过程总是先通过递归关系不断地缩小问题的规模，直到简单到可以作为特殊情况处理而得出直接的结果，再通过递归关系逐层返回到原来的数据规模，最终得出问题的解。
    以上面求阶乘数列的函数为例。如在求时，由于3不是特殊值，因此需要计算，但是对它自己的调用，于是再计算，2也不是特殊值，需要计算，需要知道的值，再计算，1是特殊值，于是直接得出，返回上一步，得，再返回上一步，得，从而得最终解。
    用图解来说明，就是
    下面再看一个稍复杂点的例子。
【例1】数列的前几项为
    1、、、、……
输入，编程求的精确分数解。
分析：
    这个题目较易，发现，其它情况下有。如要求实数解的话，这基本已经可以写出递归函数了。但由于题目要求精确的分数解，还需做一些调整。设，则由递归关系，有，再约分化简，即得。但发现一个问题：求出时，需要返回两个整数：分子与分母，而通常的函数只能返回一个整数。
    这个问题一般有两类解决办法，一种是让求值函数返回一个结构体变量，这样就可以返回两个变量了（其实还可以不只两个呢）；另一种是在求值函数的参数表中加入两个指针变量或引用变量，通过参数给带回数值。但由于后一种做法会使程序结构不清晰——返回值是由参数表得到的，因此我们使用前一种方法。
    另外，在通过得出后，就已经是最简分数了，无须化简。证明如下：
若是最简分数，即说明的最大公约数为1，即对任何，都有与不全为0，不防记、，则有
只要与不全为0，且，就有与不全为0。因此对任何的，有与不全为0。
而对于的情况而言，记，则有
由于，因此同样有与不全为0。
所以对任意字符串函数应用详解，都有与不全为0，因此它们的最大公约数为1，即是最简分数。虽然这是个要求（即）是最简分数的结论，但由于数列第二项为，是最简分数，因此可以证明第三项也是最简分数，同时也证明对所有的，求出的就是最简分数，无须化简。
    具体代码如下：
, MAX*sizeof(char));
  t[n]='\0';
  for(i=0;i<n;i++)
  {
    t[q[i]]='Q';
    cout<<t<<endl;
    t[q[i]]='.';
  }
  cout<<endl;
}
bool test(int i, int k)
{
  int j;
  j=0;
  while(j<k && abs(j-k)!=abs(q[j]-i))
    j++;
  if(j==k && mark[i]==false)
    return true;
  else
    return false;
}
void search(int k)
{
  if(k==n)
  {
    write();
    c++;
    return;
  }
  int i;
  for(i=0;i<n;i++)
    if(test(i, k))
    {
      mark[i]=true;
      q[k]=i;
      search(k+1);
      mark[i]=false; 
    }
}
int main()
{
  cin>>n;
  memset(mark, 0, MAX*sizeof(bool));
  c=0;
  search(0);
  cout<<c<<endl;
  system("pause");
  return 0;
}
六、练习
【练习】为给定的表达式建立表达式树，并求值。给定的表达式中，所有数字都是1位正整数，出现的符号可能为＋、－、*、/、（、）。
分析：
    这是一个与一般数据结构书上讲的用栈计算的方法本质不同的方法。
    在详细说明这个算法之前，需要首先明确这个算法用到的概念
    1、单元：一个单元可能是用括号括起来的一个表达式，或是一个整数；
    2、项：一个项是指由*与/连接起来的若干单元；
    3、表达式：一个表达式是指由＋或－连接起来的若干项。
    要建立表达式树，需要三个函数互相调用的函数：一个是getunit，用于建立一个单元；一个是getexpr，用于建立一个项，另一个就是build，用于建立一个表达式。
    getunit函数较易，如果字符串首字母是（的话，那么从它后面的字符开始用build建立一个表达式，这个表达式就是一个单元；否则，就处理一个整数；
    getexpr函数是建立在getunit之上的，它先用getunit建立一个单元，然后不停地考察之后地连接符号是不是*或/，若是，则不停地重复读连接符、建立另一个单元、建立连接的操作，直到连接符号不是*或/为止。
    build函数是用于最终建立表达式的，它先用getexpr建立一个项，再用符号将剩余的各项连接成二叉树。
    代码如下：
if(n>0){                                            hanoi(n-1,x,z,y);                              hanoi(n-1,y,x,z);                            }.w[10]中

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