习题一（排列与组合）
1．在1到9999之间，有多少个每位上数字全不相同而且由奇数构成的整数？
2．比5400小并具有下列性质的正整数有多少个？
（1）每位的数字全不同；
（2）每位数字不同且不出现数字2与7；
3．一教室有两排，每排8个座位，今有14名学生，问按下列不同的方式入座，各有多少种做法？
  （1）规定某5人总坐在前排，某4人总坐在后排，但每人具体座位不指定；
  （2）要求前排至少坐5人，后排至少坐4人。
4．一位学者要在一周安排50个小时的工作时间，而且每天至少工作5小时，
问共有多少种安排方案？
5．若某两人拒绝相邻而坐，问12个人围圆周就坐有多少种方式？
6．有15名选手，其中5名只能打后卫，8名只能打前锋，2名只能打前锋或后卫，今欲选出11人组成一支球队，而且需要7人打前锋，4人打后卫，试问有多少种选法？
7．求展开式中项的系数。
8．求的展开式。
9．求展开式中的系数。
10．试证任一整数n可唯一表示成如下形式：
         
11．证明，并给出组合意义。
12．证明  。
13．有n个不同的整数，从中取出两组来，要求第一组数里的最小数大于第二组的最大数，问有多少种方案？
14．六个引擎分列两排，要求引擎的点火次序两排交错开来，试求从某一特定引擎开始点火有多少种方案？
15．试求从1到1 000 000的整数中，0出现了几次？
16．n个男n个女排成一男女相间的队伍，试问有多少种不同的方案？
17．n个完全一样的球，放到r个有标志的盒子，，要求无一空盒，
试证其方案数为。
18．设，是k个素数，
试求能整除尽数n的正整数数目。
19．试求n个完全一样的骰子能掷出多少种不同的方案？
20．凸十边形的任意三个对角线不共点，试求这凸十边形的对角线交于多少个点？又把所有的对角线分割成多少段？
21．试证一整数n是另一整数的平方的充要条件是除尽n的正整数的数目为奇数。
22．统计力学需要计算r个质点放到n个盒子里去，并分别服从下列假定之一，问有多少种不同的图像？假设盒子始终是不同的。
  （1）Maxwell-Boltzmann假定：r个质点是不同的，任何盒子可以放任意个；
  （2）Bose-Einstein假定：r个质点完全相同，每一个盒子可以放任意个。
  （3）Fermi-Dirac假定：r个质点都完全相同，每盒不得超过一个。
23．从26个英文字母中取出6个字母组成一字，若其中有2或3个母音，
问分别可构成多少个字（不允许重复）？
24．给出的组合意义。
25．给出的组合意义。
26．证明  。
27．对于给定的正整数n，证明在所有中，当
        时，取得最大值。
28．（1）用组合方法证明 和 都是整数。
  （2）证明是整数。
29．（1）在2n个球中，有n个相同，求从这2n个球中选取n个的方案数。
  （2）在个球中，有n个相同，求从这个球中选取n个的方案数。
30．证明在由字母表生成的长度为n的字符串中，
  （1）0出现偶数次的字符串有个；
  （2），其中 。
31．5台教学仪器供m个学生使用，要求使用第1台和第2台的人数相等，
有多少种分配方案？
32．由n个0及n个1组成的字符串，其任意前k个字符中，0的个数不少于1的个数的字符串有多少？
习题二（母函数及其应用）
1．求下列数列的母函数
  （1）；
  （2）；
  （3）；
（4）
2．证明序列的母函数为  。
3．设，求序列的母函数。
其中，是S的满足下列条件的n组合数。
（1）S的每个元素都出现奇数次；
（2）S的每个元素都出现3的倍数次；
（3）不出现，至多出现一次；
（4）只出现1、3或11次，只出现2、4或5次；
（5）S的每个元素至少出现10次。
4．投掷两个骰子，点数之和为r，其组合数是多少？
5．投掷4个骰子，其点数之和为12的组合数是多少？
6．红、黄、蓝三的球各8个，从中取出9个，要求每种颜的球至少一个，问有多少种不同的取法？
7．将币值为2角的人民币，兑换成硬币（壹分、贰分和伍分）可有多少种兑换方法？
8．有1克重砝码2枚，2克重砝码3枚，5克重砝码3枚，要求这8个砝码只许放在天平的一端，能称几种重量的物品？有多少种不同的称法？
9．证明不定方程的正整数解组的个数为。
10．求方程的大于1的整数解的个数。
11．设，，其中，。试证：
  （1），；
  （2）求出、的母函数，。
12．设，求序列请写出至少5个字符串函数的母函数，
其中是S的满足下列条件的n排列数：
（1）S的每个元素都出现奇数次；
（2）S的每个元素至少出现4次；
（3）至少出现i次；
（4）至多出现i次；
13．把23本书分给甲乙丙丁四人，要求这四个人得到的书的数量分别不超过9本、8本、7本、6本，问：
（1）若23本书相同，有多少种不同的分法？
（2）若23本书都不相同，又有多少种不同的分法？
14．8台计算机分给3个单位，第一个单位的分配量不超过3台，第二个单位不超过4台，第三个单位不超过5台，问共有几种分配方案？
15．用母函数证明下列等式成立：
  （1）；
  （2）。
16．证明自然数n分拆为互异的正整数之和的分拆数等于n分拆为奇数之和的分拆数。
17．求自然数50的分拆总数，要求分拆的每个分项不超过3。
习题三（递推关系）
1．解下列递推关系：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
2．求由A，B，C，D组成的允许重复的排列中AB至少出现一次的排列数。
3．求n位二进制数中相邻两位不出现11的数的个数。
4．利用递推关系求下列和：
  （1）
  （2）
（3）
（4）
5．求n位四进制数中2和3必须出现偶数次的数目。
6．试求由a，b，c三个字母组成的n位符号串中不出现aa图像的符号串的数目。
7．利用递推关系解行列式：
8．在方格的棋盘上，放有k枚相同的车，设任意两枚不能相互吃掉的放法数为，证明满足递推关系：
9．在方格的棋盘中，令表示棋盘里正方形的个数（不同的正方形可以叠交），试建立满足的递推关系。
10．过一个球的中心做n个平面，其中无3个平面过同一直径，问这些平面可把球的部分成多少个两两无公共部分的区域？
11．设空间的n个平面两两相交，每3个平面有且仅有一个公共点，任意4个平面都不共点，这样的n个平面把空间分割成多少个不重叠的区域？
12．相邻位不同为0的n位二进制数中一共出现了多少个0？
13．平面上有两两相交，无3线共点的n条直线，试求这n条直线把平面分成多少个区域？
14．证明Fibonacci数列的性质，当时，
  （1）
  （2）
  （3）
（4）
15．证明：
  （1）当时，
  （2）当时，
16．有2n个人在戏院售票处排队，每戏票票价为5角，其中n个人各有一5角钱，另外n个人各有一1元钱，售票处无零钱可换。现将这2n个人看成一个序列，从第一个人开始，任何部分子序列，都保证有5角钱的人不比有1元钱的人少，则售票工作能依次序进行，否则，只能中断，而请后面有5角钱的人先上来买票。前一种情况，售票工作能顺利进行，对应的序列称为依次可进行的。问有多少种这样的序列？
17．用表示具有整数边长且周长为n的三角形的个数，证明
           
18．（1）证明边长为整数且最大边长为r的三角形的个数是
               
  （2）设为边长不超过的三角形的个数，为边长不超过的三角形的个数，求和的解析表达式。
19．从1到n的自然数中选取k个不同且不相邻的整数，
设此选取的方案数为。
（1）求的递推关系及其解析表达式；
（2）将1与n也算作相邻的数，对应的选取方案数记作，利用 求。
20．球面上有n个大圆，其中任何两个圆都相交于两点，但没有三个大圆通过同一点，用表示这些大圆所形成的区域数，例如，，试证明：
  （1）；
  （2）
21．（1）试计算从平面坐标点到点在对角线OA之上但可以经过OA上的点的递增路径的条数。
  （2）试证明从平面坐标上点到点在对角线OA之上且不触及OA的递增路径的条数是    。
22．有多少个长度为n的0与1串，在这些串中，既不包含子串010，也不包含子串101？
第二版新增的部分习题
7．求由0，1，2，3作成的含有偶数个2的n可重排列的个数。
24．设把2n个人分成n个组且每组恰好有2个人的不同分组方法有种，请给出满足的递推关系并求解。
习题四（容斥原理）
1．试求不超过200的正整数中素数的个数。
2．问由1到2000的整数中：
  （1）至少能被2，3，5之一整除的数有多少个？
  （2）至少能被2，3，5中2个数同时整除的数有多少个？
  （3）能且只能被2，3，5中1个数整除的数有多少个？
3．求从1到500的整数中能被3和5整除但不能被7整除的数的个数。
4．某人参加一种会议，会上有6位朋友，他和其中每一人在会上各相遇12次，每二人各相遇6次，每三人各相遇4次，每四人各相遇3次，每五人各相遇2次，与六人都相遇1次，一人也没遇见的有5次。问该人共参加几次会议？
5．n位的四进制数中，数字1，2，3各自至少出现一次的数有多少个？
6．某照相馆给n个人分别照相后，装入每人的纸袋里，问出现以下情况有多少种可能？
  （1）没有任何一个人得到自己的照片；
  （2）至少有一人得到自己的相片；
  （3）至少有两人得到自己的照片；
7．把排成相同字母互不相邻的排列，有多少种排法？
8．把排成一圈，令表示没有相邻数字恰好是自然顺序的排列数。
  （1）求；
  （2）证明。
9．n个单位各派两名代表出席一个会议，2n位代表围圆桌而坐，试问：
  （1）同一单位的代表相邻而坐的方案数是多少？
  （2）同一单位的代表互不相邻的方案数又是多少？
10．一书架有m层，分别放置m类不同种类的书，每层n册，现将书架上的图书全部取出整理，整理过程中要求同一类的书仍然放在同一层，但可以打乱顺序，试问：
  （1）m类书全不在各自原来层次上的方案数是多少？
  （2）每层的n本书都不在原来位置上的方案数是多少？
  （3）m层书都不在原来层次，每层n本书也不在原来位置上的方案数又是多少？
11．证明错排数的下列性质（）：

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