复数的计算和图示
表3 MATLAB关于复数运算的函数
函数 | 功能 | 函数 | 功能 | 函数 | 功能 |
abs | 模和绝对值 | angle | 相角弧度 | conj | 复数共轭 |
real | 复数实部 | imag | 复数虚部 | ||
{范例3_1}复数的加减法
设有两个复数z1 = 1 + 2i和z2 = 4 + 3i，其中i是虚数单位。求两个复数的和z1 + z2和差z2 – z1。
[解析]复数有三种表示形式
(1)代数式
z = x + iy (3_1_1)
(2)三角式
z = r(cosθ + isinθ) (3_1_2)
其中r是复数的模，θ是复角。代数式与三角式的换算关系是
， (3_1_3)
x = rcosθ，y = rsinθ (3_1_4)
(3)指数式
z = reiθ (3_1_5)
其中利用了欧拉公式
eiθ = cosθ + isinθ (3_1_6)
设有两个复数
z1 = x1 + iy1，z2 = x2 + iy2 (3_1_7)
复数加法是
z= z1 + z2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2) (3_1_8)
复数减法是
z= z1 - z2 = (x1 - x2) + i(y1 - y2) (3_1_9)
[程序]P3_1plus.m如下。
%复数的加减法
clear %清除变量
z1=1+2i; %第1个复数(1)
x1=real(z1); %取第1个复数的实部(2)
y1=imag(z1); %取第1个复数的虚部(2)
x2=4; %第2个复数的实部
y2=3; %第2个复数的虚部
z2=x2+i*y2; %形成第2个复数(3)
z=z1+z2; %两复数之和(4)
x=real(z); %取复数的实部
y=imag(z); %取复数的虚部
figure %创建图形窗口
quiver(0,0,x1,y1,0) %在复平面画第1个复数(5)
hold on %保持图像
quiver(0,0,x2,y2,0) %画第2个复数(5)
quiver(0,0,x,y,0) %画复数之和(5)
plot([x1,x],[y1,y],'--') %画虚线(6)
plot([x2,x],[y2,y],'g--') %画虚线(6)
axis equal %使坐标刻度相等(7)
grid on %加网格
r=abs(z); %求模(8)
theta=angle(z)*180/pi; %求复角(9)
text(0,0,num2str(theta),'FontSize',16) %显示复角(10)
text(x,y,num2str(r),'FontSize',16) %显示模(10)
title('两复数之和','FontSize',16) %显示标题
z=z2-z1; %两复数之差
x=real(z); %取复数的实部
y=imag(z); %取复数的虚部
figure %创建图形窗口
quiver(0,0,x1,y1,0) %在复平面画第1个复数(11)
hold on %保持图像
quiver(0,0,x2,y2,0) %画第2个复数
quiver(x1,y1,x,y,0) %画复数之差
axis equal %使坐标刻度相等
grid on %加网格
title('两复数之差','FontSize',16) %标题
[说明](1)变量i表示虚数单位，可用于形成复数。
(2)函数real和imag取复数的实部和虚部。
(3)如果已知数据的实部和虚部，也可形成复数。
(4)求复数之和时，实部与实部相加，虚部与虚部相加，形成新的复数。
(5)quiver指令画箭杆，前两个参数表示箭杆的起点坐标，后两个参数表示箭杆两个分量的长度，第5个参数表示按所给数据画箭杆。
(6)画虚线形成平行四边形，如P3_1a图所示。
(7)坐标间隔应该相等。
(8)对于复数(包括实数)，abs函数求模。
(9)angle函数求复角。
(10)text指令显示文本。
(11)求复数之差时，三个复数形成三角形。
P3_1a图 P3_1b图
{范例3_2}复数的乘除法
设有两个复数z1字符串函数用法 = 1 + 2i和z2 = 4 + 3i，求两个复数的积z1z2和商z2/z1。
[解析]复数乘法为
z = z1z2 = (x1 + iy1)(x2 + iy2) = x1x2 - y1y2 + i(x1y2 + x2y1) (3_1_10)
用指数表式为
z = r1exp(θ1)r2exp(θ2) = r1r2exp(θ1 + θ2) (3_1_11)
可见：两复数相乘时，其模等于两个复数的模的乘积，其复角等于两个复数的复角之和。
复数除法为
(3_1_12)
用指数表式为
z = r2exp(θ2)/[r1exp(θ1)] = (r2/r1)exp(θ2 – θ1) (3_1_13)
可见：两复数相除时，其模等于两个复数模的商，其复角等于两个复数的复角之差。
复数的乘方用指数表示为
zn = |z|nexp(inθ) = |z|ncos(nθ) + isin(nθ) (3_1_14)
[程序]P3_2times.m如下。
%复数的乘除法
clear %清除变量
z1=input('请输入第1个复数(包括实数和虚数)z1:');%键盘输入第1个复数(1)
z2=input('请输入第1个复数(包括实数和虚数)z2:');%键盘输入第2个复数(1)
x1=real(z1); %取第1个复数的实部
y1=imag(z1); %取第1个复数的虚部
x2=real(z2); %取第2个复数的实部
y2=imag(z2); %取第2个复数的虚部
z=z1*z2; %两复数之积
x=real(z); %取复数的实部
y=imag(z); %取复数的虚部
figure %创建图形窗口
quiver(0,0,x1,y1,0) %在复平面画第1个复数
hold on %保持图像
quiver(0,0,x2,y2,0) %画第2个复数
quiver(0,0,x,y,0) %画复数之和(2)
axis equal %使坐标刻度相等
grid on %加网格
r1=abs(z1); %求第1个复数的模
theta1=angle(z1)*180/pi; %求第1个复数的复角
txt=[num2str(r1),',',num2str(theta1)]; %横和复角字符串
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