计算分段函数的取值范围
字符串截取公式分段函数是数学中常见的一种函数形式，它通常由若干段子函数组成，每段子函数的取值范围有所不同。计算分段函数的取值范围是解决数学问题的常见任务之一。下面将以一个具体的分段函数为例，详细介绍如何计算分段函数的取值范围。
假设我们有一个分段函数：
\[ f(x) =  \begin{cases}
            2x + 3, &\quad x < -1 \\
            x^2 - 1, &\quad -1 \leq x < 2 \\
            4 - 3x, &\quad x \geq 2 \\
          \end{cases} \]
我们的目标是计算函数$f(x)$的取值范围。为了实现这一目标，我们可以分别计算子函数的取值范围，并将这些子函数的取值范围合并在一起，得到整个函数的取值范围。
首先，我们考虑第一段子函数 $2x + 3$ 的取值范围。由于$x$的取值范围为 $x < -1$，我们可以推算出 $2x + 3$ 的取值范围。当$x$趋近于$- \infty$时，$2x + 3$ 也趋近于$- \infty$。因此，我们得到第一段子函数的取值范围为 $(- \infty, + \infty)$。
接下来，我们考虑第二段子函数 $x^2 - 1$ 的取值范围。由于$x$的取值范围为 $-1 \leq x < 2$，我们可以计算出$x^2-1$ 的取值范围。当$x$趋近于 $-1$ 时，$x^2-1$ 趋近于 $(-1)^2-1=0$。当$x$趋近于 $2$ 时，$x^2-1$ 趋近于 $2^2-1=3$。因此，第二段子函数的取值范围为 $[0, 3)$。
最后，我们考虑第三段子函数 $4 - 3x$ 的取值范围。由于$x$的取值范围为 $x \geq 2$，我们可以计算出 $4 - 3x$ 的取值范围。当 $x$ 趋近于 $+ \infty$ 时，$4 - 3x$ 趋近于 $- \infty$。因此，第三段子函数的取值范围为 $(- \infty, + \infty)$。
现在，我们将每个子函数的取值范围合并在一起，得到整个函数 $f(x)$ 的取值范围。根据函数的定义域，当 $x$ 小于 $-1$ 时，函数的取值范围为 $(- \infty, + \infty)$。当 $x$ 在 $[-1, 2)$ 范围内时，函数的取值范围为 $[0, 3)$。当 $x$ 大于等于 $2$ 时，函数的取值范围为 $(- \infty, + \infty)$。因此，整个函数 $f(x)$ 的取值范围为：
\[ (- \infty, + \infty) \cup [0, 3) \cup (- \infty, + \infty) \]
综上所述，函数 $f(x)$ 的取值范围为 $(- \infty, + \infty)$。

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