第一章准备知识
§1.1 集合与符号
一、集合
1．定义：由确定的一些对象汇集的总体称为集合；
组成集合的这些对象被称为集合的元素．
2．表示：用大写字母、、…表示集合；
用小写字母、、…表示集合的元素．
是集合的元素，记为(读作：属于);
不是集合的元素，记为(读作：不属于)．
不含任何元素的集合称为空集合，记作
3．集合间的关系
（1）子集合：如果集合的任何元素都是集合的元素，那末我们就说是的子集合，简称为子集，记为
        读作包含于）,
或者
      （读作包含）．
（2）相等：如果集合的任何元素都是集合的元素，并且集合的任何元素也都是集合的元素（即并且），那末我们说集合与集合相等，记为
        ．
  我们约定：空集合是任何集合的子集，即 ．
二、数集   
1．  N ——自然数集;              Z ——整数集;
Q——有理数集;                R——实数集;
C——复数集．
把非负整数、非负有理数和非负实数的集合分别记为Z，Q和R,显然有
          NZQRC．
和
      NZQR．
2．区间 ——数轴上的一段所有点组成的集合
符  号
      名    称
定    义
有限区间
  开区间
  闭区间
  半开区间
  半开区间
无限区间
  开区间
  闭区间
  开区间
  闭区间
3．邻域  设 R，
数集  称为的邻域，记为
  ==,
    称为邻域的中心；称为邻域的半径。
当不需要注明邻域的半径时，常把它表为，简称的邻域．
数集 表示在的邻域中去掉的集合，称为的去心邻域，记作
    ==-，
当不需要注明邻域半径时，常将它表为，简称的去心邻域．
三、逻辑符号
1．符号“”表示“蕴涵”或“推得”，或“若…，则…”．
    ——若命题成立，则命题成立;或命题蕴涵命题;称是充分条件，同时也称是的必要条 
例如：是整数是有理数
  符号“”表示“必要充分”，或“等价”，或“当且仅当”．
表示命题与命题等价;或命题蕴涵命题（），同时命题也蕴涵命题（）
例如：任意，有．
2.量词符号
    符号“”表示“任意”，或“任意一个”，它是将英文字母倒过来．
    符号“”表示“存在”，或“能到”，它是将英文字母反过来．
    应用上述的数理逻辑符号表述定义、定理比较简练明确．例如，数集有上界、有下界和有界的定义：
        数集有上界 R，，有．
    数集有下界 R，，有．
数集有界，，有．
既有上界，又有下界。
  请试证明，上面两者等价。
3． max与min
符号“max”表示“最大”（它是maximum(最大)的缩写）．
符号“min”表示“最小”（它是minimum(最小)的缩写）．
设是个数．例如：
max{}——个数中最大数．
min{}——个数中最小数．
4． ！与！！
符号“！”表示“不超过的所有自然数的连乘积”，读作“的阶乘”即
      ！=（-1）…3·2·1． 
如  7！= 7·6·5·4·3·2·1．
符号“！！”表示“不超过并与有相同奇偶性的自然数的连乘积”，读作“的双阶乘”，即
          （2-1）！！=（2-1）（2-3）…5·3·1．
          （2-2）！！=（2-2）（2-4）…6·4·2．
        如  9！！= 9·7·5·3·1, 12！！=12·10·8·6·4·2．
    规定：0！=1．
5．连加符号Σ与连乘符号Π
    在数学中，常遇到一连串的数相加或一连串的数相乘，例如1+2+…+或者        等．为简便起见，人们引入连加符号Σ与连乘符号Π：
　  ，
    ．
这里的指标仅仅用以表示求和或求乘积的范围，把换成别的符号 ，字符串是什么字符的集合等，也同样表示同一和或同一乘积，例如
  ，
          ．
人们通常把这样的指标称为“哑指标”．
我们举几个例子说明连加符号Σ与连乘符号Π的应用．
例1  阶乘!的定义可以写成

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