集合
一． 集合的含义
含义：我们把能够确切指定的不同对象组成的整体叫做集合，简称集。集合中的各个对象叫做这个集合的元素（element）
二． 集合元素的特征
1. 确定性
2. 互异性
3. 无序性
三． 集合的分类
我们把含有有限个元素的集合称为有限集（finite set）
含有无限个元素的集合成为无限集（infinite set）
为了研究的需要，我们把不含任何元素的集合叫做空集（empty set）记作
四． 集合的表示方法
1. 通常用大写的英文字母表示，如A,B,C…；元素通常用小写的英语字母表示，如a,b,c…
2. 如果a是集合A的元素，就记作aA,读作“a属于A(belong to)”
3. 如果a不是集合A的元素，就记作aA, 读作“a不属于A(not belong to)”
4. 数的集合简称数集，常用的数集我们一般用特定的字母表示：
  全体非整数组成的集合称为非负整数集（自然数集）记作N
  所有正整数组成的集合称为正整数集 记作N﹡或N+
  全体整体组成的集合称为整数集 记作Z
  全体有理数组成的集合称为有理数集 记作Q
  全体实数组成的集合称为实数集 记作R
5. 集合的表示方法：
  列举法 如：﹛1,3,5,7﹜
  描述法 如：﹛x︱2x-3＞0﹜,﹛(x,y)︱y=x+1﹜
  文氏图法 如：
                              B
                                            A
五． 集合之间的基本关系
1. 一般的，对于两个集合A和B，如果集合A中任何一个元素B元素，我们就说集合A是集合B的子集（subset）记作AB或BA，读作A包含于（be contained in）B或B包含(contain)A
2. 对两个集合AB，如果有AB且BA，那么叫做集合A与集合B相等，记作A=B,读作集合A等于集合B
3. 对于两个集合A与B，如果有AB并且B中至少有一个元素不属于A，那么称集合A是集合B的真子集（proper subset）记作AB或BA，读作A真包含于B或B真包含于A
4. 文氏图法（略）
5. 重要的结论
  空集是任何集合的子集
含有n个元素的集合的子集个数是
    空集是任何集合的真子集
含有n个元素的集合的真子集个数是-1
含有n个元素的集合的非空真子集个数是-2
六． 集合的基本运算
1. 交集
一般的，有由集合A和集合B的所有公共元素组成的集合叫做A与B的交集（intersection）
用文氏图法表示如图：
由交集运算的定义容易得到以下一些基本性质：
A∩B=B∩A
A∩A=A
A∩
A∩BA,A∩BB
若A∩B=A则有AB反之若AB则A∩B=B
2. 并集
一般的，由所有属于集合A或者属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的并集(union),记作A∪B，读作A并B, A∪B=﹛x︱x∈A或x∈B﹜
用文氏图法表示如图：
由并集运算的定义容易得到以下一些基本性质：
A∪B=B∪A
A∪A=A
A∪
AA∪B,BA∪B
若A∪B=B则有AB反之若AB则A∪B=B
3. 补集
在给定的问题中，若研究的所有集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集（universe）
若A字符串是什么字符的集合是U的子集，由U中不属于A的元素组成的集合叫做集合A在全集U中的补集（complementary sey），记作CuA，读作A补，即CuA=﹛x︱xU,xA﹜
用文氏图法表示如图：
由补集运算的定义容易得到以下一些基本性质：
A∩CuA
A∪CuA=U
Cu(CuA)=A
徳·摩根定理
Cu(A∩B)=CuA∪CuB
Cu(A∪B)=CuA∩CuB
扩充公式：
(A∩B)∩C=A∩(B∩C)
(A∪B)∪C=A∪(B∪C)
A∩(B∩C)=(A∩B)∪(A∩C)
A∪(B∪C)=(A∪B)∩(A∪C)

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