第五篇   函数图像
函数及其图像，是中学数学课程的重要内容。《超级画板》提供了制作动态函数图像的丰富的功能，并具有辅助教学和学习的一些附加的功能，例如在函数曲线上取点，作函数曲线的切线，列出函数值的表格，对曲线和x轴之间的面积填充或作细分，等等。另外，还有许多办法作出教学所需要的特殊效果，那就要了解更多的操作方法了。
                         
一 函数图像配合函数表
函数通常有三种表示方法：解析表达式、图像和表格。
用《超级画板》可以把三种表示方法紧密结合起来。输入解析表达式，画出图像，再让图像和表格关联，以显示出函数值的表格。
请看本书配套资源中的文件5-1图像和列表.zjz，如图5-1。
                          图5-1
这个课件有如下的功能:
（1）显示曲线所对应的函数的表达式 当鼠标指着左边对象工作区中编号为[5]的曲线条目时，旁边会显示出函数的表达式。从图中看到，y是x的平方根。
（2）呈现函数的定义域 所画的函数曲线，函数的定义域为[a,b]。在左上部的两个测量数据文本中显示出，a的当前值为0，b的当前值为9。
（3）显示描点画线时所取的点和对应的函数值表 函数曲线上，连同两端点共有19个点，把自变量x的范围[0，9]均匀分为18份。曲线就是根据这19个点描出来的。这19个点所对应的自变量x和函数y（x的平方根）的值可以在右上方的函数表里查出来。
（4）用一个按钮控制着函数表的显示或隐藏。
（5）改变描点的数目和对应的函数表 描点的数目并非固定是19。拖动下方参数n的变量尺上的滑钮，可以改变描点的数目。点的数目越多，曲线就画得越准确。当点的数目变化时，函数表也就随着改变。例如，当描点的数目减少到5时，函数表里也就只有5组数据了。
（6）可以显示或不显示曲线上所取的点  在函数曲线的属性对话框里，如图4-23，可以在左下角勾选或不勾选画点。即使不把点显示出来，曲线仍然是根据这些点的位置而画出来的。
（7）可以选择用曲线或线段来组成图像  曲线的画法有两种方案：一种是用曲线来连接这些点，一种是用线段来连接这些点。当前是用曲线来连接的。如图在属性对话框的右部可以勾
选或不勾选“折线段”。若勾选“折线段”，就是用线段来连接这些点了。
（8）在曲线上有一个样例点  曲线上有一个红点A。这个点的坐标，可以在属性对话框里查出来，是u000和u000^(1/2)。当u000变化时，点A的轨迹或踪迹比较准确地显示出曲线的样子。在图上，我们用x来标示A的横坐标，用f(x) 来标示A的纵坐标。图中看到，点A的横坐标和纵坐标都被测量出来了，从测量数据中可以对更多的自变量x的值查出对应的函数值，准确到10位小数。
（9）可以准确地设置函数定义域和样例点 为了更准确地控制参数a、b和u000, 我们制作了3个动画按钮和参数k的变量尺，并测量出floor(k)，但测量数据命名为k。打开动画按钮的属性对话框，可以查出动画的设置：动画的参数范围是floor(k)到pi*floor(k)；频率小于10；类型是一次运动且为逆向运动。例如，若用变量尺把k的值调整到2至3之间，这时测量数据显示k=2。若单击a的动画按钮的主钮，则a的值变为2；单击a的动画按钮的副钮时，则a的值变为2π。同样方法可以把b或u000的值准确地设置为整数或π的整数倍。如果想要a、b和u000准确地取其它数值，可以在动画按钮属性对话框里设置。
（10）可以改变函数的表达式，一图百变  单击“显示或隐藏说明”按钮，出现如图5-2所示的
说明。按说明操作，可以变换函数的表达式。
                      图5-2
回忆学过的操作，可知上述功能除作函数表外都不难实现。而作函数表的功能，可以用文本作图命令中“文本”类倒3行的函数命令Grid(5,10,10,70, 20, ); 其中第1个参数5是函数曲线的编号；第2，3两个参数11和8是表格的行列数目；第4，5两个参数70和20是表格中一格的宽度和高度的像素数目。注意，表格的宽度和高度可以用鼠标拖动调整，行列的数目可以在属性对话框里修改。这命令也适用于参数曲线、极坐标曲线和点的轨迹。
你也可以把这个文件当作模板使用，只要把函数表达式和点A的坐标改一下，就能作出你所要的带有函数表的函数的图像了。
例如，上述文件的第2页（如图5-3），呈现出在[0, 2π]上的函数y=sinx 的图像和函数表，就是从第一页修改得到的。
这里重要的是两点修改：在曲线的属性对话框里把函数的表达式改成sin(x)；在点A的属性对话框里把“y-参数”（即A的y坐标）改为 sin(u000)。
此外，还要把定义域调整为[0, 2π]。方法是先用变量尺把k调到2和3之间，再单击b的动画按钮的副钮。
当描点个数n=9时，得到图5-3所示曲线。
                            图5-3
虽然只取了9个点，图像已相当准确了。拖动点A检查一下，便知分晓。
如果减少到只用4个点，误差就大了。图5-4显示出用4个点描出的曲线和对点A的跟踪的对比。
                      图5-4
用折线代替曲线，在描点数很多时效果相当好，在描点数很少的情形，误差比曲线大得多。图5-5是取6点用线段连接的情形。若用曲线，要好得多。你不妨试试。
                        图5-5
[习题5-1] 复制上述文件，利用它作为模板，分别作出适当的定义域上的二次函数，余弦函数以及对数函数的图像和函数表。
[习题5-2] 上述文件中只能把参数a、b和u000准确地调为整数或π的整数倍。请你设计变量尺和动画按钮，使操作者能够方便地把这些参数准确地调为分数或π的分数倍。（分子分母不超过100）。
二 基本的初等函数族 
在中学课程中，有几族函数特别重要。这包括二次函数族 y=ax2+bx+c, 指数函数族y=ax, 对数函数族 y=loga x，幂函数族 y=xk 以及正弦函数族 y=A sin(ωx+φ)
这些函数族都带有可变的参数。用超级画板作出函数图像和有关的参数尺，拖动参数尺上的滑钮，跟踪曲线的变化，可以对函数形态和参数的关系，有非常直观地了解。
打开本书配套资源中的文件5-2二次函数.zjz，如图5-6。
                      图5-6
用文本作图函数命令Function(y=a*x^2+b*x+c, -6, 6,500 , ); 可以作出图中的函数曲线；用文本作图函数命令Point(a, -2, a, , , a);Point(b, -3, b, , , b);和Point(c, -4, c, , ,c );可以作出可以拖动的坐标点a几何画板trunc函数、b、c，用以控制参数a，b和c；曲线和x轴的交点x1和x2以及顶点D，也都是可以用文本作图函数命令作出的坐标点；有关的坐标可以根据课本上的公式写出来，你也可以从点的属性对话框里查出来。
还可以用文本作图函数命令Variable(k, );作出一个参数k的变量尺，测量出k的整数部分floor(k)并将测量得到数据命名为k。这是为了用动画按钮驱动系数a、b、c取到整数值。这样的办法，在上一节已经用过，以后还会常用。
曲线方程中的系数是动态的，可以随a、b、c的变化而变化。在文本中嵌入动态的数据，在前一章已经用过。这次算是复习吧。如果忘了是如何操作的，可以双击方程的文本，使它进入编辑状态，就能看到原来的输入是：
    y=$bl{a,21}x^2+$bl{b,21}x+$bl{c,21}
这就明白了。
再作3个动画按钮，用来分别驱动a、b、c 在一定范围变化，以便对曲线跟踪观察。例如，当a在-5到5之间变化时，对曲线的跟踪情形如图5-7。
                      图5-7
图中还测量了判别式b2-4ac的值。当判别式为负时，曲线和x轴没有交点。此外，这里的标题是漂亮的“可变换文本”，可以用文本作图的“文本”类函数命令TransformText(二次函数的图
像);来实现。用可变化文本制作的文字，可以填充，可以选择后拖动角上的“把手”来改变其长宽。
当我们选择了曲线并对它跟踪时，有时可能希望停止跟踪，或又恢复跟踪。在对象工作区单击该“跟踪”条目前的小方框，可以在停止跟踪和恢复跟踪之间切换。若不想在对象工作区操作，可以作一个按钮来实现跟踪的显示和隐藏，方法是使用“动态alpha”功能和变量动画。在前一章也介绍过了。

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