2011年第3期                                                        导 弹 与 航 天 运 载 技 术                                                                No.3 2011 总第313期                                                        MISSILES AND SPACE VEHICLES                                                          Sum No.313
收稿日期：2010-09-05；修回日期：2011-04-15
作者简介：商  霖（1977-），男，工程师，主要研究方向为发射动力学
文章编号：1004-7182(2011)03-0055-03
基于ANSYS 有限元分析的模态质量计算方法
商  霖
（中国运载火箭技术研究院，北京，100076）
摘要：基于动能公式的演化推导，提出一种计算模态质量的新方法。该方法操作方便，快速有效，适用于任何有限元模型模态质量的计算。通过与模态质量经典公式计算结果的比较，二者数值完全一致。
关键词：模态质量；经典公式；动能定理；质量矩阵；弹簧-质量模型 中图分类号：V411.8    文献标识码：A
Modal Mass Computation Based on ANSYS Finite Element Analysis
Shang Lin
(China Academy of Launch Vehicle Technology, Beijing, 100076)
Abstract : With the evolvement of kinetic energy equation, a novel method to compute the modal mass is presented. This method
is simple and effective, suitable for any modal mass computation of Finite Element Analysis (FEA) model .The results obtained from this method are the same with those from classical equation, which proves that this method is valid.
Key Words : Modal mass; Classical equation; Energy theorem; Mass matrix; Spring mass model
0  引  言
一个完整的振动系统必须包含质量矩阵，刚度矩阵和阻尼矩阵，其中质量矩阵储存着系统的动能，刚度矩阵存储着系统的势能，阻尼矩阵则代表能量在不同系统之间的转移（如由机械能转换为热能），通过三者的有机结合使能量不断地相互转换，由此构成系统的运动（振动）。系统振动后的形态，称之为模态。
模态是一个物理意义上的定义，对应在数学上其反应为非齐次微分方程的特征值问题。在物理坐标系下，质量矩阵和刚度矩阵不可避免地会出现耦合，这就给方程求解带来了较大的困难。通常的做法是，在模态坐标系下借助模态基的正交特性使得质量矩阵和刚度矩阵转换为对角矩阵，将多自由度系统解耦成为N 个单自由度系统，由此方程求解大为简化。这样得到的对角矩阵（质量矩阵和刚度矩阵）称为模态质量阵、模态刚度阵，简称为模态质量、模态刚度。
模态质量和模态刚度等都是在模态坐标系下的定义，其只具有数学计算功能，没有实际的物理意义和量纲。不过，在模态系下得到的数学参量可以通过广义反变换转化为物理系下的力学参量。比如利用模态
质量和模态振型计算振动系统在特定工况下的运动方
程式系数和动载荷，为控制设计和载荷设计提供重要依据。由此看来，振动系统的动特性参数，如模态质量和模态刚度等在其总体设计中占据着重要的地位。 当前，振动系统动特性参数的求解主要是借助于有限元分析软件。本文即利用ANSYS 有限元分析软件对振动系统模态质量的计算方法进行研究。模态刚度的计算方法与此类同，本文不再另作说明。
1  模态质量计算方法
计算模态质量之前，首先需要对振动系统进行模
态分析。在ANSYS 软件中，模态分析的基本流程为：
a ）根据物理系统构建有限单元模型，包括定义单元类型、单元实常数和材料模型等；
b ）根据实际工况设置模态分析选项，如模态提取方法、提取数目、扩展数目等，为计算模态质量，分析过程中必须打开振型正则化开关，软件自动将每阶模态的最大位移单位化；
c ）模态求解并扩展，得到初始解后模态扩展将振型写入结果文件。随后，在模态分析结果文件中提取
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用于模态质量计算的基本参数，如模态频率、模态振型和质量矩阵等。
本文中，模态质量的计算方法主要有两种：基于经典模态质量公式；基于动能公式的演化。
1.1  经典公式
根据定义，模态质量等于系统真实质量左乘模态振型矩阵的转置，右乘模态振型矩阵，可表示为如下经典公式：
T M m ΦΦ=⋅⋅            （1）
式中  M 为模态质量；m 为物理质量；Φ为模态振型；
T
Φ为模态振型的转置。
对于下述的算例1（弹簧-质量单元模型）来说，采用经典公式（1）计算系统模态质量相当方便。因为物理质量m 可以根据工程经验方便给出，模态振型Φ可以通过模态分析直接得到，其模态质量公式相应扩展为
2222
11
221
1
()N
N
i j xij yij zij x j xij j j N
N
y j yij
z j zij
j j M m u u u I rot I rot
I rot
=====⋅+++⋅+
⋅+⋅∑∑∑∑  （2）
式中  i M 为第i 阶模态质量；N 为集中质量分站总数；j m 为第j 分站的集中质量；x j I ，y j I 和z j I 为第j 分站集中质量绕x ，y 和z 轴的转动惯量；xij u ，yij u 和zij u 为第i 阶模态时第j 分站在x ，y 和z 方向上的归一化线位移振型；xij rot ，yij rot 和zij rot 为第i 阶模态时第j 分站绕x ，y 和z 轴的归一化角位移振型。
对于下述的算例2（三维实体单元模型）来说，采用经典公式（1）计算其模态质量就很不方便。这是因为：a. 工程上，复杂系统整体的质量矩阵还不能用简单公式人为地给出；b. 有限元分析软件中，系统整体质量矩阵的提取方法较为复杂，且要求掌握相关专业知识（质量矩阵提取方法）；c. 系统整体质量矩阵一般都是相当庞大的，其数据容量大到经常可以撑爆电脑硬盘。
为简化相关工作，下面介绍一种计算模态质量的新方法。
1.2  动能演化公式
引言中提到，质量矩阵储存着系统的动能。基于此，通过对动能公式进行演化，推导得到用于计算系统模态质量的简便公式。其推导过程如下：
根据动能定理，书写系统动能公式：
T 0.5E V m V =⋅⋅          （3） 式中  E 为系统动能矩阵；V 为系统速度矩阵；T V 为
系统速度矩阵的转置。
引入单位矩阵T I ΦΦ=，式（3）变化为
T T T 0.5E V m V ΦΦΦΦ=⋅⋅⋅⋅        （4）
将模态质量公式（1）代入式（4），可得：
T T 0.5E V M V ΦΦ=⋅⋅⋅⋅          （5）
将速度公式V Φω=⋅代入式（5），得：
T T 0.5()()E M ΦωΦΦΦω=⋅⋅⋅⋅⋅⋅    （6）
式中  ω为系统模态频率矩阵。
将单位矩阵T I ΦΦ=代入式（6），得：
T 0.5E M ωω=⋅⋅            （7） 式中  T ω为系统模态频率矩阵的转置；ω和T ω均为对角矩阵。由此，借助系统动能公式演化得到新的模态质量公式为
22.0/M E ω=            （8）
在ANSYS 软件中，可以利用SSUM 命令对
ETABLE 命令提取的单元动能数据求和以获取系统在第i 阶模态时的总动能i E ，将系统总动能i E 除以21/2i ω即可得到模态质量i M ，其中i ω是振动系统的角频率。 该方法简单、高效，适用于计算包括算例1和算例2在内的任何有限单元模型的模态质量。
2  质量矩阵提取方法
在ANSYS 有限元软件中，质量矩阵的提取主要有
3种方法：HBMAT 命令法、用户子程序法和超单元法。其中HBMAT 命令方法是ANSYS 软件提供的提取质量矩阵的直接方法，其将质量矩阵存储为Harwell-Boeing 格式（大型稀疏矩阵的标准交换格式，采用索引存储方法仅记录矩阵的非零元素），需要掌握数据文件的这种存储格式才可获取完整的质量矩阵；用户子程序法，通过编制外部用户程序直接从*.FULL 文件中读取质量矩阵，需要掌握ANSYS 软件的二次开发知识才可以得到完整的质量矩阵；超单元法，利用ANSYS 软件提供的子结构分析功能，定义超单元，计算后列出超单元的质量矩阵即可，需要借助专业的数据读取软件（如MATLAB 、ORGIN ）编程处理后方可得到质量矩阵。 基于对Harwell-Boeing 存储格式的研究，在ANSYS 软件平台上编制命令流程序获取了算例1（弹簧-质量单元模型）和算例2（三维实体单元模型）的质量矩阵，进而计算得到它们的模态质量。
3  算例1——弹簧-质量单元模型
图1为某振动系统的弹簧-质量单元模型。图1中，振动系统外部壳体采用空间梁单元BEAM188进行离散（图示实线），质量分布采用质量单元MASS21进行
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分站模拟（图示星点）。模型中，单元属性参数如几何尺寸、材料参数和质量数据等均采用振动系统的实际数据。
图1  弹簧-质量单元模型
表1为根据图1弹簧-质量单元模型经模态分析后得到的前6阶模态参数。从表1数据可见，采用经典
正则化的具体做法公式（1）和演化公式（8）得到的模态质量基本一致。
表1  弹簧-质量单元模型模态参数
阶数 模态频率 Hz 模态质量 经典公式 演化公式 误差 1 43.829 54    1.001 480 0    1.001 480 0 0 2 43.829 54    1.001 480 0    1.001 480 0 0 3 70.422 87 159.736 32 159.735 57    4.695 26×10-64 70.422 87 159.736 32 159.735 57    4.695 26×10-65 126.439 28 126.912 11 126.911 52    4.648 91×10-66
126.439 28
126.912 11
126.911 52
4.648 91×10
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4  算例2——三维实体单元模型
图2为某振动系统的三维实体单元模型。根据振动系统的几何尺寸，在三维绘图软件ProE 中构建几何实体模型，采用10节点实体结构单元SOLID185进行自由离散分网，材料参数从材料手册中查得。
表2为根据图2三维实体单元模型经模态分析后得到的前3阶模态参数。对比表2数据可见，采用经典公式（1）和演化公式（8）所得到的模态质量基本一致。
表2  三维实体单元模型模态参数
阶数模态频率 Hz 模态质量 经典公式 演化公式 误差
1849.585 87    5.716 14    5.716 12    3.498 88×10-6 2
965.876 15    3.155 94    3.155 93    3.168 64×10-6 3
1 120.988 93
12.123 65
12.123 60
4.124 19×10-6
图2  三维实体单元模型
5  结  语
振动系统的动特性参数是其控制设计和载荷设计的基本参数之一，在总体设计中具有重要的地位。本
文基于动能公式的演化，推导得到了一种计算模态质量的新方法。利用ANSYS 有限元分析软件对弹簧-质量单元模型和三维实体单元模型进行模态分析，获取了模态频率、模态振型和质量矩阵等。采用经典公式和演化公式计算得到了两种模型的模态质量。通过比较这两种方法所得的模态质量数值，表明本文所提方法合理、可信。
参  考  文  献
1  傅志方. 模态分析理论与应用[M]. 上海: 上海交通大学出版社, 2000.
2  液体弹道导弹与运载火箭系列丛书编辑委员会. 液体弹道导弹与运载火
箭系列丛书·总体设计[M]. 北京: 宇航出版社, 1987.
3  尹云玉. 固体火箭载荷设计基础[M]. 北京：中国宇航出版社, 2007.
4  Wada B K. Equivalent spring-mass system: a physical interpretation[J].
Shock and Vibration Bulletin, 1972(42): 215-225.
印度将在2011年10月前进行3次PSLV 火箭发射
印度空间研究组织（ISRO ）主席拉达克里希南称，ISRO 将在2011年10月前进行3次极地轨道卫星运载火箭（PSLV ）的发射。
这3次发射分别为：7月，PSLV-C17发射携带12个扩展C 波段转发器的GSAT-12卫星；9~10月，PSLV-C18和
PSLV-C19分别发射Megha-tropiques 卫星（印法合作任务）和携带合成孔径雷达的RISAT-1微波遥感卫星。
ISRO 官员称，目前由ISRO 前主席奈尔领导的地球同步轨道卫星运载火箭（GSLV ）故障分析委员会（针对2010年
12月发射GSAT-5P 卫星失败）以及由前主席卡斯图里兰甘领导的GSLV 项目评估和战略委员会（针对GSLV 的未来）都已提交了各自的研究报告。拉达克里希南拒绝给出印度载人航天飞行计划的时间表，称目前首要的任务是解决GSLV 的问题。                              （葛姗姗  供稿）

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