求解如下等式约束的最小二乘解
其中A是一个m*n的矩阵,b是一个m*1的向量,x是一个n*1的向量。现在要求解最小二乘解x,使得x满足上述等式约束。
解决该问题的一种方法是使用Moore-Penrose伪逆矩阵:
x = (A^T*A)^(-1)*A^T*b
其中A^T是A的转置矩阵,(A^T*A)^(-1)是(A^T*A)的逆矩阵。如果(A^T*A)不可逆,则使用广义逆矩阵来求解。
上述公式可以通过最小化误差平方和的方式得到。具体来说,假设x_hat是一个n*1的向量,满足A*x_hat最接近b,即:
||A*x_hat - b||^2
则x_hat是最小二乘解。根据最小二乘问题的性质,x_hat等于:
x_hat = (A^T*A)^(-1)*A^T*b
正则化最小二乘问题 所以,x_hat也是满足等式约束A*x = b的最小二乘解。
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