加权最小二乘法
加权最小二乘法（weighted least squares, WLS）是一种线性回归的方法，用于处理具有不同观测误差方差的数据。
在普通最小二乘法（ordinary least squares, OLS）中，假设所有的观测误差方差是相等的。但在实际应用中，有一些变量可能有更大的观测误差，或者某些观测点可能有更大的误差。WLS通过对不同观测点赋予不同的权重来解决这个问题，权重的大小与观测误差的方差成反比。
加权最小二乘法的目标是最小化加权残差的平方和，即最小化：
\\[S = \\sum_{i=1}^{n} w_i(y_i - f(x_i))^2\\]
正则化最小二乘问题其中，$n$为观测点数量，$w_i$为第$i$个观测点的权重，$y_i$为第$i$个观测点的观测值，$f(x_i)$为模型对第$i$个观测点的预测值。
为了最小化$S$，可以通过求解加权最小二乘问题的正规方程来获得参数的估计值，即求解：
\\[(X^TWX)\\hat{\\beta} = X^TWy\\]
其中，$X$为设计矩阵，包含自变量的观测值，$\\hat{\\beta}$为参数的估计值，$W$为权重矩阵，对角线上的元素为权重值，其他元素为零。
通过求解正规方程，可以获得参数的估计值$\\hat{\\beta}$，进而用于预测新的观测值或进行模型的推断分析。
需要注意的是，加权最小二乘法的权重选择需要根据具体的实际情况来确定，通常可以通过观察观测数据的方差不均匀性、残差分析等方法来确定权重值。

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